SumNinja

Herken groei die elke stap vermenigvuldigt

Ongeveer 3 min

Steeds hetzelfde optellen en steeds met dezelfde factor vermenigvuldigen kunnen eerst op elkaar lijken. Een derde waarde kan het verschil laten zien.

Een tuinmodel begint met 3 planten en verdubbelt het aantal elk seizoen: 3, 6, 12, 24. Een model dat er steeds drie bij optelt begint met 3, 6, 9, 12. De eerste twee aantallen zijn gelijk. Het derde laat zien of de formule optelt of vermenigvuldigt.

Maak van verdubbelen een formule

Laat x seizoenen tellen en y planten. Bereken het aantal na twee seizoenen.

  1. Leg het begin vast

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Hier telt x de seizoenen en y de planten. Voordat er is verdubbeld, blijft het aantal drie. We schrijven 2⁰ = 1 voor nul stappen.

  2. Lees de macht als herhaalde factoren

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    De exponent is het kleine, verhoogde getal. Hier telt hij factoren twee. Het betekent niet twee maal het aantal seizoenen.

  3. Controleer nog een seizoen

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Verdubbel twaalf om vierentwintig te krijgen. De hoeveelheid die erbij komt groeit, maar de vermenigvuldigingsfactor blijft twee.

Dezelfde factor maakt steeds grotere sprongen

Het aantal begint bij drie. Na één seizoen is het zes; na twee seizoenen twaalf. De grafiek buigt omdat de hoeveelheid die erbij komt groeit.

Verbind het patroon met de kromme

Een vaste factor bij gelijke stappen wijst op exponentiële groei. Een vaste toename wijst op een lineair verband. Controleer drie waarden in plaats van twee als beide patronen mogelijk lijken.

De grafiek zet seizoenen langs de horizontale as en aantallen planten langs de verticale as. Als de toegevoegde hoeveelheid groeit, wordt de kromme steiler. De aantallen bij hele seizoenen geven duidelijke controlepunten.

De vloeiende kromme toont de formule ook tussen die punten. Daar hoeft hij geen geheel aantal planten te tellen. Echte planten kunnen niet eeuwig verdubbelen: ruimte en voedsel raken op. Dit is een model van een patroon.

Probeer het zelf

Werk een antwoord uit en leg je redenering uit. Bekijk daarna de uitleg.

Gebruik een andere groeifactor

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Bereken het aantal na drie stappen. Leg uit hoe de herhaalde verandering verschilt van steeds drie optellen.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

De waarden zijn 2, 6, 18 en 54.

Onderscheid machten van rechte lijnen

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Welke formule verdubbelt het resultaat bij elke stap? Gebruik genoeg waarden om de twee patronen te onderscheiden.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
4⋅2x4\cdot2^x

De eerste geeft 4, 8, 16. De tweede geeft 4, 6, 8, omdat hij er steeds twee bij optelt.

Onderscheid twee gelijke beginpunten

y=2×2xy=2\times2^x

Beide geven twee bij nul en vier bij één. Wat gebeurt er bij de volgende stap?

Grafiek A

De eerste drie waarden zijn twee, vier en zes.

Grafiek B

De eerste drie waarden zijn twee, vier en acht.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
Grafiek B\text{Grafiek B}

Verdubbelen geeft acht bij x = 2. Grafiek B past. Grafiek A blijft er twee bij optellen en geeft dus zes.

Als een extra getal de kromme verschuift

Tel bij y = 2ˣ + 3 drie op nadat je de macht hebt berekend. Bij x = 0, 1 en 2 krijg je 4, 5 en 7. Die volledige resultaten verdubbelen niet. Bereken punten met de hele formule als die een extra verschuiving bevat.

In y = −2ˣ verandert het minteken het teken van elke hoogte. De kromme ligt onder nul. Het maakt het grondtal niet negatief.

Test het groeipatroon

Zoek de juiste grafiek bij elke formule. Controleer de beginwaarde en een paar latere waarden. Neem elke extra factor of opgeteld getal mee in de volledige formule.

2 minuten oefenen · doorgaan na fouten · opent in een nieuw tabblad

Probeer vragen over exponentiële grafieken