SumNinja

Vind de ontbrekende exponent met logaritmen

Ongeveer 4 min

Een logaritme vindt een ontbrekende exponent. Vier rondes verdubbelen maken van één punt zestien punten, dus log₂(16) = 4.

Een spelscore begint bij één en verdubbelt na elke ronde. Je weet dat de score zestien bereikte. Werk terug vanuit die score om het aantal rondes te vinden. Dat doet een logaritme. De kleine 2 in log₂ vertelt je dat je machten van twee gebruikt.

Vind het aantal rondes met verdubbelen terug

log₂(16) = ? → 2^? = 16

  1. Vertaal de notatie

    log⁡2(16)=?⟺2?=16\log_2(16)=?\quad\Longleftrightarrow\quad2^{?}=16

    Het grondtal is de factor die je steeds opnieuw gebruikt. Vraag bij grondtal twee welke exponent bij twee de uitkomst zestien geeft.

  2. Tel de verdubbelingen

    1→2→4→8→161\to2\to4\to8\to16

    Er zijn vier veranderingen vanaf één. De beginwaarde telt niet als een ronde verdubbelen.

  3. Controleer door de macht te berekenen

    24=16⇒log⁡2(16)=42^4=16\quad\Rightarrow\quad\log_2(16)=4

    Vier factoren twee bouwen de score weer op. Een logaritme geeft die exponent terug: dat is het ontbrekende getal in de macht.

De doelscore loopt horizontaal; de rondes lopen verticaal

Voor één punt zijn nul rondes nodig, voor twee punten één, voor vier punten twee en voor acht punten drie. Als de doelscore verdubbelt, komt er één bij de hoogte.

Maak een grafiek van dezelfde vraag

Laat bij y = log₂(x) de x de doelscore zijn en y het aantal benodigde rondes. Voor een score van acht zijn drie rondes nodig, dus (8, 3) is een punt op de grafiek.

De scores 1, 2, 4 en 8 geven de rondes 0, 1, 2 en 3. Elke verdubbeling verhoogt de hoogte met één. De afstanden tussen de scores groeien, dus de kromme stijgt steeds langzamer.

Een macht van twee blijft boven nul. Hij kan geen nul of negatieve doelscore geven, dus deze grafiek heeft x boven nul nodig. Een half punt betekent één verdubbeling teruggaan: 2⁻¹ = 1/2, dus log₂(1/2) = −1.

Verander het grondtal, niet de betekenis

Bij grondtal drie verdrievoudigt elke stap het begin. Omdat 3² = 9 geldt log₃(9) = 2. Het doel blijft hetzelfde: vind de exponent terug. Je kunt een doelscore ook tussen bekende machten plaatsen zonder de exacte waarde te berekenen.

Probeer het zelf

Werk een antwoord uit en leg je redenering uit. Bekijk daarna de uitleg.

Verander de doelscore

log⁡2(32)\log_2(32)

Hoeveel rondes verdubbelen zijn vanaf één nodig om deze doelscore te bereiken?

Toon het antwoordVerberg het antwoord
55

2⁵ = 32, dus de ontbrekende exponent is 5.

Lees een ander grondtal

log⁡3(81)\log_3(81)

Met welke exponent van drie bereik je de doelscore? Controleer door terug te vermenigvuldigen.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
44

3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Schat tussen bekende machten

log⁡2(12)\log_2(12)

Gebruik de machten net onder en boven twaalf om de ontbrekende exponent een plek te geven.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
3<log⁡2(12)<43<\log_2(12)<4

Omdat 2³ = 8 en 2⁴ = 16 ligt de exponent die twaalf oplevert tussen drie en vier.

Kies de grafiek van rondes bij een score

y=log⁡2(x)y=\log_2(x)

Welke grafiek geeft het juiste aantal rondes als de doelscore één is?

Grafiek A

Bij scores één, twee en vier zijn de hoogtes nul, één en twee.

Grafiek B

Bij scores één, twee en vier zijn de hoogtes twee, drie en vier.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
Grafiek A\text{Grafiek A}

Voor een score van één zijn nul verdubbelingen nodig. Grafiek A bevat (1, 0). Grafiek B telt bij elke hoogte twee extra op.

Waarom een logaritmische schaal kan helpen

Een gewone schaal gebruikt gelijke afstanden voor gelijke toenames: één, twee, drie, vier. Een logaritmische schaal met grondtal twee gebruikt gelijke afstanden voor verdubbelingen: één, twee, vier, acht. Zo kun je grote veranderingen op een klein oppervlak laten zien.

Een logaritmische schaal verandert de afstanden op een as. De grafiek hierboven tekent juist een logaritme op gewone assen. De ideeën hangen samen, maar het zijn verschillende afbeeldingen.

Lees een verschoven of omgekeerde logaritmische grafiek

Een getal vóór de logaritme vermenigvuldigt het resultaat. In y = 2log₂(x) geeft x = 4 de waarde 2 × 2 = 4.

Tel in y = log₂(x) + 2 bij elke hoogte twee op. Zo geeft x = 1 de waarde y = 2. Een minteken vóór de logaritme draait de kromme ondersteboven. Controleer een bekende macht in de volledige formule voordat je kiest.

Probeer het verband met de grafiek

Het spel vraagt je de juiste grafiek bij logaritmische formules te vinden. Gebruik een doelscore die een bekende macht is en controleer de hoogte. Neem alle veranderingen in de volledige formule mee.

2 minuten oefenen · doorgaan na fouten · opent in een nieuw tabblad

Probeer vragen over logaritmische grafieken