SumNinja

Begrijp sinus en cosinus met één cirkel

Ongeveer 4 min

Sinus volgt de hoogte van een punt op een cirkel. Cosinus volgt de links-rechtswaarde. Zet die waarden uit tijdens een omwenteling en je krijgt twee golven.

Een gamelicht draait in een cirkel rond. Je wilt de hoogte ervan volgen en de twee golfgrafieken uit elkaar houden. De cirkel hieronder meet één eenheid van het middelpunt tot de rand. De hoogte van de punt is sinus, en de links-rechtswaarde is cosinus. Als je de wijzer draait, veranderen ze allebei tegelijk.

Coördinaten op een eenheidscirkel Straal één. Rechts: 0 graden, coördinaten (1, 0). Boven: 90 graden of pi gedeeld door twee, coördinaten (0, 1). Links: 180 graden of pi, coördinaten (-1, 0). Onder: 270 graden of drie pi gedeeld door twee, coördinaten (0, -1). De cosinus is de horizontale coördinaat en de sinus de verticale. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blauw volgt links en rechts: cosinus. Groen volgt de hoogte: sinus. De straal is één. Een hele draai is 360°, of 2π radialen.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Sinus: doorgetrokken groen. Cosinus: blauw gestreept. Lees de hoek onderaan en de waarde van de cirkel aan de zijkant.

Volg hetzelfde punt tijdens een omwenteling

Lees het paar als (cosinus, sinus): eerst links-rechts, daarna hoogte.

  1. Begin helemaal rechts

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    De punt ligt één eenheid rechts van het middelpunt en heeft geen hoogte. Begin hier en draai dan tegen de klok in.

  2. Draai een kwartslag naar boven

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    De zijwaartse waarde wordt nul, terwijl de hoogte één wordt. De twee markeringen op de golven laten deze waarden bij dezelfde hoek zien.

  3. Draai nog een kwartslag naar links

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Links van het middelpunt betekent een negatieve links-rechtswaarde. De hoogte is weer nul. Onderaan wordt de hoogte min één.

Zie waarom de golven anders beginnen

In de golfgrafieken staat de hoek onderaan en de waarde van de cirkel langs de zijkant. Bij nul begint de groene sinusgolf op nul; de blauwe stippellijn van de cosinus begint op één.

Na een kwartslag bereikt sinus één, terwijl cosinus nul bereikt. Gebruik de bediening om de twee waarden van de cirkel te koppelen aan de twee markeringen. Na een hele omwenteling zijn het punt en beide golven weer terug bij hun begin.

De cirkel heeft straal één: de afstand van het middelpunt tot de rand is één. Daarom kunnen hoogte en links-rechtswaarde niet groter worden dan één of kleiner dan min één. Beide golven blijven binnen die grenzen.

Lees dezelfde draai in graden of radialen

Graden en radialen zijn twee eenheden voor hoeken. Een hele omwenteling is 360°, of 2π radialen. Het symbool π is ongeveer 3,14. Een halve omwenteling is π radialen, en een kwartslag is π/2.

Het grafiekspel gebruikt radialen. Lees eerst de hoeklabels voordat je een hoogte vergelijkt. De waarde op de golf is een positie uit de cirkel, geen andere hoek.

Probeer het zelf

Werk een antwoord uit en leg je redenering uit. Bekijk daarna de uitleg.

Lees het punt links

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Welke waarde geeft de hoogte en welke de links-rechtspositie?

Toon het antwoordVerberg het antwoord
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Cosinus geeft de links-rechtswaarde, −1. Sinus geeft de hoogte, nul.

Lees het onderste punt

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Welke hoogte bereikt het licht onderaan zijn cirkel?

Toon het antwoordVerberg het antwoord
−1-1

Het punt ligt één eenheid onder het middelpunt, dus de sinus is −1.

Kies cosinus uit twee golven

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Kijk waar het licht begint bij hoek nul en vergelijk daarna de kwartslag.

Grafiek A

Bij nul is de waarde nul. Na een kwartslag is die één.

Grafiek B

Bij nul is de waarde één. Na een kwartslag is die nul.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
Grafiek B\text{Grafiek B}

Cosinus begint bij één en wordt nul na een kwartslag. Dat past bij grafiek B. Grafiek A volgt juist de hoogte, dus dat is sinus.

Verander de hoogte of snelheid van een golf

In y = 2sin(x) verdubbel je elke hoogte. De golf loopt van min twee tot twee en herhaalt zich nog steeds na 2π. Door er één bij op te tellen verschuift de hele golf één omhoog.

In y = sin(2x) verandert de hoek twee keer zo snel. Eén hele golf past nu in π radialen. Lees het begin, de hoogte en de herhaallengte af uit de volledige regel.

Een minteken ervoor zet een golf ondersteboven: y = −sin(x). De toppen worden dalen. Controleer één bekende hoek om te zien welke kant hij op gaat.

Denk je dat je de golven uit elkaar kunt houden?

Kies vragen over sinus- of cosinusgrafieken. Let op het begin, de hoogte en de herhaallengte. Het spel gebruikt radialen en kan de basisgolf uitrekken of verschuiven.

2 minuten oefenen · doorgaan na fouten · opent in een nieuw tabblad

Probeer sinusgrafieken Probeer cosinusgrafieken