SumNinja

Waarom tangensgrafieken onderbrekingen hebben

Ongeveer 4 min

Tangens vergelijkt hoe ver een richting omhoog en opzij gaat. Deel de hoogte door de horizontale waarde. Recht omhoog richten geeft geen breedte, dus de grafiek heeft daar een onderbreking.

Stel je voor dat je in een spel een wijzer richt. De cirkel hieronder meet één eenheid van het middelpunt tot de rand. De hoogte van de punt is de sinus; de horizontale waarde is de cosinus. Tangens deelt de hoogte door die horizontale waarde. Draai de wijzer om te zien waarom recht omhoog richten een probleem geeft.

Coördinaten op een eenheidscirkel Straal één. Rechts: 0 graden, coördinaten (1, 0). Boven: 90 graden of pi gedeeld door twee, coördinaten (0, 1). Links: 180 graden of pi, coördinaten (-1, 0). Onder: 270 graden of drie pi gedeeld door twee, coördinaten (0, -1). De cosinus is de horizontale coördinaat en de sinus de verticale. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Blauw volgt links en rechts: cosinus. Groen volgt de hoogte: sinus. De straal is één. Een hele draai is 360°, of 2π radialen.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Volg de wijzer door drie richtingen

Lees tangens als hoogte ÷ horizontale positie.

  1. Richt horizontaal naar rechts

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    De punt ligt één eenheid rechts van het middelpunt en heeft geen hoogte. Nul gedeeld door één is nul.

  2. Maak de hoogte en breedte even groot

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    Bij 45 graden zijn de twee lengtes gelijk en beide positief. Gelijke lengtes delen geeft één.

  3. Richt recht omhoog

    tan⁡(90∘)=10ongedefinieerd\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{ongedefinieerd}

    Bovenaan is de horizontale positie nul. Geen enkel getal maal nul kan een hoogte van één geven, dus deze deling heeft geen antwoord.

Een verticale richting maakt een onderbreking

Elke kant van een onderbreking hoort bij een apart stuk van de kromme. Teken nooit een lijn over de ontbrekende waarde heen.

Verbind de richting met de grafiek

De grafiek zet de hoek langs de horizontale as en de tangens langs de verticale as. Een horizontale richting geeft (0, 0). Bij 45°, oftewel π/4 radialen, is de waarde één.

Als de wijzer bijna recht omhoog staat, blijft de hoogte dicht bij één terwijl de horizontale lengte kleiner wordt. Delen door die piepkleine lengte maakt het resultaat groot.

Net voorbij recht omhoog wordt de horizontale positie negatief, terwijl de hoogte positief blijft. Het resultaat wordt negatief. De grafiek heeft losse stukken met een onderbreking ertussen. De onderbreking zelf is niet oneindig.

Lees de hoekeenheden

Graden en radialen meten allebei draaiingen. Een hele draai is 360°, oftewel 2π radialen. Het symbool π is ongeveer 3,14. Een kwart draai is 90°, oftewel π/2 radialen. Het spel gebruikt radialen.

Een halve draai keert beide tekens om, waardoor de verhouding hetzelfde blijft. Daarom herhaalt tangens zich elke 180°, oftewel π radialen. De onderbrekingen liggen bij π/2, daarna bij 3π/2, enzovoort.

Probeer het zelf

Werk een antwoord uit en leg je redenering uit. Bekijk daarna de uitleg.

Draai onder de horizontale richting

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Richt een achtste draai onder de richting naar rechts. Welke waarde heeft tangens daar?

Toon het antwoordVerberg het antwoord
−1-1

Sinus is negatief en cosinus positief. Hun groottes zijn gelijk, dus het antwoord is −1.

Herken een ongedefinieerde waarde

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Wat gebeurt er met tangens bij deze hoek? Leg uit waarom de waarde niet nul kan zijn.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
ongedefinieerd\text{ongedefinieerd}

Geen enkel getal maal nul geeft één, dus 1 ÷ 0 heeft geen antwoord. Het is niet nul en ook niet oneindig.

Kies een grafiek die onderbroken kan zijn

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Beide gaan door nul. Welke kan een verticale richting weergeven waarbij de verhouding niet is gedefinieerd?

Grafiek A

Losse stukken hebben onderbrekingen bij een kwart draai en daarna elke halve draai.

Grafiek B

Eén vloeiende golf blijft zonder onderbrekingen tussen min één en één.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
Grafiek A\text{Grafiek A}

Grafiek A heeft onderbrekingen waar de horizontale waarde nul is. Grafiek B blijft zonder onderbrekingen tussen min één en één, dus die kan geen tangens zijn.

Als het spel de grafiek uitrekt

Verdubbel in y = 2tan(x) elke hoogte op de grafiek. De onderbrekingen blijven op hun plek. Een getal optellen verplaatst de grafiek omhoog of omlaag. Een minteken keert de hoogtes om, maar laat de hoeken van de onderbrekingen gelijk.

In y = tan(2x) draait de wijzer twee keer zo snel. De grafiek herhaalt zich na π/2 in plaats van π. De onderbrekingen komen ook dichter bij elkaar te liggen. Controleer de volledige formule voordat je kiest.

Test het idee van de onderbrekingen

Zoek de juiste grafiek bij tangensformules. Let op een bekende waarde, de onderbrekingen en de afstand waarna de vorm zich herhaalt. Het spel gebruikt radialen.

2 minuten oefenen · doorgaan na fouten · opent in een nieuw tabblad

Probeer vragen over tangensgrafieken