SumNinja

Brug et prikprodukt til at sammenligne retninger

Ca. 3 min.

Et prikprodukt giver ét tal. Fortegnet fortæller, om et mål ligger foran, ved siden af eller bagud i forhold til en retning.

En spillebrik vender langs (2, 1): to til højre og en op. Et mål ligger (−1, 3) fra den: en til venstre og tre op. Er det foran eller bagved? Et prikprodukt gør de to vektorer til ét tal, og fortegnet svarer på det spørgsmål.

Sammenlign målet med retningen

Find prikproduktet af (2, 1) og (−1, 3).

  1. Gang de matchende dele sammen

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    Målets del mod venstre tæller imod retningen mod højre. Dets del opad tæller med retningen opad.

  2. Læg de to bidrag sammen

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Tre opvejer minus to, så svaret bliver positivt. Resultatet er en skalar: ét tal, ikke parret (−2, 3).

  3. Svar på spørgsmålet om retning

    1>0⇒foran1>0\quad\Rightarrow\quad\text{foran}

    Målet ligger på den fremadrettede side af retningen. Foran betyder ikke, at det ligger direkte på den samme linje.

Målet ligger til venstre på skærmen, men foran A

A angiver retningen, og B angiver målet. Det skraverede område ligger foran A. Den stiplede grænse markerer en ret vinkel på A.

Læs den fremadrettede side af figuren

Grænsen går gennem brikken i en ret vinkel på dens retning. Et mål på den linje har intet fremadrettet bidrag. Mål på hver side af den linje ligger enten på siden foran eller siden bagved.

For to ikke-nulvektorer betyder et positivt prikprodukt en vinkel under 90°. Et negativt resultat betyder en vinkel over 90°. Nul betyder en ret vinkel, også kaldet vinkelret.

Så fortegnet giver en nyttig test, selv når målet ligger til venstre på skærmen. Sammenlign med retningen, ikke kun venstre mod højre.

Prøv selv

Regn dig frem til et svar og forklar, hvordan du tænker. Tjek derefter forklaringen.

Opdag en ret vinkel

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Beregn resultatet som ét tal. Hvilket vinkel-forhold afslører fortegnet?

Vis svaretSkjul svaret
00

Resultaterne 2 og −2 giver tilsammen nul, så disse ikke-nulvektorer mødes i en ret vinkel.

Giv ét tal som svar

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Find det ene tal i stedet for et par. Forklar, hvorfor de to produkter skal lægges sammen.

Vis svaretSkjul svaret
55

Regn −1 × 3 + 2 × 4 ud. Det giver −3 + 8 = 5.

Brug resultatet til en beslutning i spillet

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Er målet foran, bagved eller præcis til siden i forhold til denne retning?

Vis svaretSkjul svaret
bagved\text{bagved}

Prikproduktet er minus to. Når retningen er mod højre, tæller målets placering mod venstre som bagved. Dets del opad ændrer ikke på det fortegn.

Hvorfor et stort resultat ikke betyder en mindre vinkel

Vinklen er den samme, når du fordobler den ene vektor, men prikproduktet fordobles. Så værdien afhænger af begge længder. En enhedsvektor har længden en. Brug enhedsvektorer til at fjerne effekten af længden.

En nulvektor giver prikproduktet nul med alle vektorer. Men den har ingen retning, så det tilfælde viser ikke en ret vinkel. Reglen om vinkler kræver to ikke-nulvektorer.

Prøv beregningen bag testen af retning

Spillet spørger efter prikprodukter af små vektorer med hele tal. Giv ét tal. Brug fortegnet til at tænke over retningen, selv om spillet spørger efter beregningen.

2 minutters øvelse · fortsæt efter fejl · åbner i en ny fane

Prøv prikprodukter