SumNinja

Vergelijk richtingen met een inwendig product

Ongeveer 3 min

Een inwendig product geeft één getal. Het teken vertelt of een doel vóór, opzij van of achter de kijkrichting ligt.

Een speelstuk kijkt langs (2, 1): twee naar rechts en één omhoog. Een doel ligt op (−1, 3) ten opzichte van het stuk: één naar links en drie omhoog. Is dat vóór of achter? Een inwendig product maakt van de twee vectoren één getal waarvan het teken die vraag beantwoordt.

Vergelijk het doel met de kijkrichting

Bereken het inwendig product van (2, 1) en (−1, 3).

  1. Vermenigvuldig de overeenkomstige componenten

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    De component naar links van het doel werkt tegen de kijkcomponent naar rechts in. De component omhoog werkt mee met de kijkcomponent omhoog.

  2. Tel de twee bijdragen op

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Drie weegt zwaarder dan min twee, waardoor het antwoord positief is. Het resultaat is een scalair: één getal, niet het paar (−2, 3).

  3. Beantwoord de richtingsvraag

    1>0⇒voor1>0\quad\Rightarrow\quad\text{voor}

    Het doel ligt aan de voorkant van de kijkrichting. Vóór betekent niet dat het precies op dezelfde lijn ligt.

Het doel ligt links op het scherm, maar vóór A

A geeft de kijkrichting en B het doel. De gekleurde helft ligt vóór A. De gestippelde grens staat loodrecht op A.

Lees de voorkant van de afbeelding

De grens loopt door het speelstuk en staat loodrecht op de kijkrichting. Een doel op die lijn heeft geen bijdrage naar voren. Doelen aan weerszijden van de lijn vallen aan de voorkant of aan de achterkant.

Voor twee vectoren die niet nul zijn, betekent een positief inwendig product een hoek kleiner dan 90°. Een negatief resultaat betekent een hoek groter dan 90°. Nul betekent een rechte hoek: de vectoren staan loodrecht op elkaar.

Het teken geeft dus een nuttige controle, ook als het doel links op het scherm staat. Vergelijk met de kijkrichting, niet alleen met links en rechts.

Probeer het zelf

Werk een antwoord uit en leg je redenering uit. Bekijk daarna de uitleg.

Herken een rechte hoek

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Bereken het resultaat als één getal. Wat vertelt het teken over de hoek?

Toon het antwoordVerberg het antwoord
00

De resultaten 2 en −2 tellen op tot nul, dus deze niet-nulvectoren maken een rechte hoek met elkaar.

Geef één getal terug

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Bereken het ene getal, niet een paar. Leg uit waarom je de twee producten moet samenvoegen.

Toon het antwoordVerberg het antwoord
55

Bereken −1 × 3 + 2 × 4. Dat geeft −3 + 8 = 5.

Gebruik het resultaat voor een beslissing in het spel

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Ligt het doel vóór, achter of precies opzij van deze kijkrichting?

Toon het antwoordVerberg het antwoord
Achter\text{Achter}

Het inwendig product is min twee. Als je naar rechts kijkt, telt de linkse positie van het doel als achter. De component omhoog verandert dat teken niet.

Waarom een groter resultaat geen kleinere hoek betekent

De hoek blijft gelijk als je één vector verdubbelt, maar het inwendig product verdubbelt. De waarde hangt dus van beide lengtes af. Een eenheidsvector heeft lengte één. Gebruik eenheidsvectoren om het lengte-effect weg te nemen.

Een nulvector heeft met elke vector een inwendig product van nul. Maar hij heeft geen richting, dus dit geval toont geen rechte hoek. De hoekregel vereist twee niet-nulvectoren.

Probeer de berekening achter de richtingstest

Het spel vraagt om inwendige producten van vectoren met kleine gehele getallen. Geef één getal. Gebruik het teken om over de richting na te denken, ook al vraagt het spel om de berekening.

2 minuten oefenen · doorgaan na fouten · opent in een nieuw tabblad

Probeer inwendige producten