SumNinja

Tunnista kasvu, joka moninkertaistuu jokaisella askeleella

Noin 3 min

Saman määrän lisääminen ja samalla kertoimella kertominen voivat näyttää aluksi samanlaisilta. Kolmas arvo paljastaa eron.

Puutarhamallissa on aluksi 3 kasvia, ja niiden määrä kaksinkertaistuu jokaisena kasvukautena: 3, 6, 12, 24. Kolme lisäävä malli alkaa 3, 6, 9, 12. Kaksi ensimmäistä määrää täsmäävät. Kolmas näyttää, lisääkö vai kertooko sääntö.

Muuta kaksinkertaistuminen säännöksi

Merkitään kasvukausien määrää x:llä ja kasvien määrää y:llä. Selvitä määrä kahden kasvukauden jälkeen.

  1. Kirjaa alkuarvo

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Tässä x kertoo kasvukausien ja y kasvien määrän. Ennen ensimmäistä kaksinkertaistumista määrä pysyy kolmena. Nollan askeleen kohdalla merkitsemme 2⁰ = 1.

  2. Lue potenssi toistuvina tekijöinä

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    Eksponentti on pieni yläindeksinä oleva luku. Tässä se kertoo kakkosten määrän tekijöinä. Se ei tarkoita kahta kertaa kasvukausien määrää.

  3. Tarkista vielä yksi kasvukausi

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Kaksinkertaista kaksitoista, niin saat kaksikymmentäneljä. Lisättävä määrä kasvaa, mutta kertova tekijä pysyy kahtena.

Sama kerroin kasvattaa hyppyjä

Määrä alkaa kolmesta. Yhden kasvukauden jälkeen se on kuusi ja kahden jälkeen kaksitoista. Kuvaaja kaartuu, koska lisättävä määrä kasvaa.

Yhdistä lukujono käyrään

Sama kerroin yhtä pitkien askelten välein tarkoittaa eksponentiaalista kasvua. Sama lisäys tarkoittaa lineaarista sääntöä. Tarkista vain kahden sijaan kolme arvoa, jos molemmat mallit vaikuttavat mahdollisilta.

Kuvaajan vaaka-akselilla ovat kasvukaudet ja pystyakselilla kasvien määrät. Kun lisättävä määrä kasvaa, käyrä jyrkkenee. Kokonaisten kasvukausien määrät antavat selkeitä tarkistettavia pisteitä.

Tasainen käyrä näyttää säännön myös näiden pisteiden välissä. Siellä sen ei tarvitse kuvata kokonaisia kasveja. Oikeat kasvit eivät voi kaksinkertaistua ikuisesti, sillä tila ja ravinto loppuvat. Tämä on lukujonon malli.

Kokeile itse

Laske vastaus ja kerro, miten päädyit siihen. Tarkista sitten selitys.

Käytä toista kasvukerrointa

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Laske määrä kolmen askeleen jälkeen. Selitä, miten toistuva muutos eroaa kolmen lisäämisestä.

Näytä vastausPiilota vastaus
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

Arvot ovat 2, 6, 18 ja 54.

Erota potenssit suorista

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Kumpi sääntö kaksinkertaistaa tuloksensa jokaisella askeleella? Laske riittävästi arvoja erottaaksesi mallit.

Näytä vastausPiilota vastaus
4⋅2x4\cdot2^x

Ensimmäinen antaa 4, 8, 16. Toinen antaa 4, 6, 8, koska se lisää joka kerta kaksi.

Erota kaksi samanlaista alkua

y=2×2xy=2\times2^x

Molemmat antavat nollalla kaksi ja yhdellä neljä. Mitä tapahtuu seuraavalla askeleella?

Kuvaaja A

Kolme ensimmäistä arvoa ovat kaksi, neljä ja kuusi.

Kuvaaja B

Kolme ensimmäistä arvoa ovat kaksi, neljä ja kahdeksan.

Näytä vastausPiilota vastaus
Kuvaaja B\text{Kuvaaja B}

Kaksinkertaistamalla saat kahdeksan, kun x = 2. Kuvaaja B sopii. Kuvaaja A lisää edelleen kaksi ja antaa kuusi.

Kun ylimääräinen luku siirtää käyrää

Lisää säännössä y = 2ˣ + 3 kolme potenssiin korottamisen jälkeen. Kun x = 0, 1 ja 2, saat 4, 5 ja 7. Nämä lopulliset tulokset eivät kaksinkertaistu. Jos sääntö sisältää ylimääräisen siirron, laske pisteet koko säännöstä.

Säännössä y = −2ˣ miinusmerkki vaihtaa jokaisen korkeuden etumerkin. Käyrä on nollan alapuolella. Miinusmerkki ei tee kantaluvusta negatiivista.

Testaa kasvumallia

Yhdistä säännöt kuvaajiin. Tarkista alkuarvo ja muutama myöhempi arvo. Ota koko säännössä huomioon mahdollinen ylimääräinen kerroin tai lisättävä luku.

2 minuutin harjoitus · jatkuu virheiden jälkeenkin · avautuu uuteen välilehteen

Kokeile eksponenttifunktioiden kuvaajatehtäviä