SumNinja

Etsi puuttuva potenssi logaritmien avulla

Noin 3 min

Logaritmi etsii puuttuvan potenssin. Neljä kaksinkertaistamiskierrosta muuttaa yhden pisteen kuudeksitoista, joten log₂(16) = 4.

Pelin pistemäärä alkaa yhdestä ja kaksinkertaistuu jokaisen kierroksen jälkeen. Tiedät, että se nousi kuuteentoista. Selvitä kierrosten määrä etenemällä tästä pistemäärästä taaksepäin. Logaritmi tekee juuri sen. log₂:n pieni 2 kertoo, että käytetään kakkosen potensseja.

Selvitä kaksinkertaistamiskierrosten määrä

log₂(16) = ? → 2^? = 16

  1. Muunna merkintä

    log⁡2(16)=?⟺2?=16\log_2(16)=?\quad\Longleftrightarrow\quad2^{?}=16

    Kantaluku on tekijä, jota käytät yhä uudelleen. Kun kantaluku on kaksi, kysy, mikä kakkosen potenssi antaa kuusitoista.

  2. Laske kaksinkertaistumiset

    1→2→4→8→161\to2\to4\to8\to16

    Muutoksia on neljä, kun aloitat yhdestä. Alkuarvo ei ole kaksinkertaistamiskierros.

  3. Tarkista korottamalla potenssiin

    24=16⇒log⁡2(16)=42^4=16\quad\Rightarrow\quad\log_2(16)=4

    Neljä kakkosta tekijöinä muodostaa pistemäärän uudelleen. Logaritmi palauttaa tämän eksponentin eli puuttuvan potenssin.

Tavoitepistemäärä etenee vaakasuunnassa ja kierrokset pystysuunnassa

Yksi piste vaatii nolla kierrosta, kaksi yhden, neljä kaksi ja kahdeksan kolme. Tavoitteen kaksinkertaistaminen kasvattaa korkeutta yhdellä.

Muodosta kuvaaja samasta kysymyksestä

Olkoon säännössä y = log₂(x) x tavoitepistemäärä ja y tarvittavien kierrosten määrä. Kahdeksan pisteen tulos vaatii kolme kierrosta, joten (8, 3) on kuvaajan piste.

Pistemäärät 1, 2, 4 ja 8 antavat kierrosmääriksi 0, 1, 2 ja 3. Jokainen kaksinkertaistaminen nostaa korkeutta yhdellä. Pistemäärien välit kasvavat, joten käyrä nousee yhä hitaammin.

Kakkosen potenssi on aina nollaa suurempi. Se ei voi antaa tavoitteeksi nollaa tai negatiivista lukua, joten tässä kuvaajassa x:n täytyy olla nollaa suurempi. Puoli pistettä tarkoittaa yhtä kaksinkertaistamisaskelta taaksepäin: 2⁻¹ = 1/2, joten log₂(1/2) = −1.

Vaihda kantaluku, älä merkitystä

Kun kantaluku on kolme, jokainen askel kolminkertaistaa alkuarvon. Koska 3² = 9, log₃(9) = 2. Tehtävä pysyy samana: selvitä potenssi. Voit myös sijoittaa tavoitteen tunnettujen potenssien väliin selvittämättä sen tarkkaa arvoa.

Kokeile itse

Laske vastaus ja kerro, miten päädyit siihen. Tarkista sitten selitys.

Vaihda tavoitetta

log⁡2(32)\log_2(32)

Kuinka monta kaksinkertaistamiskierrosta tarvitaan tähän tavoitteeseen, kun aloitetaan yhdestä?

Näytä vastausPiilota vastaus
55

2⁵ = 32, joten puuttuva potenssi on 5.

Lue toinen kantaluku

log⁡3(81)\log_3(81)

Mikä kolmosen potenssi saavuttaa tavoitteen? Tarkista kertomalla takaisin.

Näytä vastausPiilota vastaus
44

3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Arvioi tukipotenssien välissä

log⁡2(12)\log_2(12)

Sijoita puuttuva potenssi käyttämällä kahtatoista lähinnä pienempää ja suurempaa potenssia.

Näytä vastausPiilota vastaus
3<log⁡2(12)<43<\log_2(12)<4

Koska 2³ = 8 ja 2⁴ = 16, kaksitoista antava potenssi on kolmen ja neljän välissä.

Valitse kierrokset pistemäärästä näyttävä kuvaaja

y=log⁡2(x)y=\log_2(x)

Kumpi kuvaaja näyttää oikean kierrosmäärän, kun tavoitepistemäärä on yksi?

Kuvaaja A

Pistemäärillä yksi, kaksi ja neljä korkeudet ovat nolla, yksi ja kaksi.

Kuvaaja B

Pistemäärillä yksi, kaksi ja neljä korkeudet ovat kaksi, kolme ja neljä.

Näytä vastausPiilota vastaus
Kuvaaja A\text{Kuvaaja A}

Yhden pisteen tulos vaatii nolla kaksinkertaistamiskierrosta. Kuvaaja A sisältää pisteen (1, 0). Kuvaajan B jokaisessa korkeudessa on kaksi ylimääräistä.

Miksi logaritminen asteikko voi auttaa

Tavallisessa asteikossa yhtä suuret välit tarkoittavat yhtä suuria lisäyksiä: yksi, kaksi, kolme, neljä. Kakkoskantaisessa logaritmisessa asteikossa yhtä suuret välit tarkoittavat kaksinkertaistumista: yksi, kaksi, neljä, kahdeksan. Näin pieneen tilaan mahtuu hyvin suuria muutoksia.

Logaritminen asteikko muuttaa akselin välistystä. Yllä oleva kuvaaja taas esittää logaritmin tavallisilla akseleilla. Ajatukset liittyvät toisiinsa, mutta kuvat eivät ole samoja.

Lue siirretty tai käännetty logaritmikuvaaja

Logaritmin edessä oleva luku kertoo sen tuloksen. Säännössä y = 2log₂(x), kun x = 4, saat 2 × 2 = 4.

Säännössä y = log₂(x) + 2 lisää kaksi jokaiseen korkeuteen. Kun x = 1, y = 2. Logaritmin edessä oleva miinusmerkki kääntää käyrän ylösalaisin. Tarkista koko säännöstä yksi tunnettu potenssi ennen valintaa.

Kokeile yhteyttä kuvaajaan

Pelissä yhdistetään logaritmisääntöjä kuvaajiin. Käytä tavoitteena tuntemaasi potenssia ja tarkista sitten sen korkeus. Ota koko säännön kaikki muutokset huomioon.

2 minuutin harjoitus · jatkuu virheiden jälkeenkin · avautuu uuteen välilehteen

Kokeile logaritmifunktioiden kuvaajatehtäviä