SumNinja

Ymmärrä sini ja kosini yhden ympyrän avulla

Noin 3 min

Sini seuraa pisteen korkeutta ympyrän kehällä. Kosini seuraa sen sijaintia vasemmalta oikealle. Kun piirrät nämä arvot yhden kierroksen ajalta, saat kaksi aaltoa.

Pelin valo kiertää ympyrää. Haluat seurata sen korkeutta ja erottaa kaksi aaltokuvaajaa toisistaan. Alla olevan ympyrän keskipisteestä reunaan on yksi yksikkö. Osoittimen kärjen korkeus on sini ja sijainti vasemmalta oikealle kosini. Osoittimen kääntäminen muuttaa molempia samalla kertaa.

Ympyrän trigonometriset koordinaatit Säde on yksi. Oikealla: 0 astetta, koordinaatit (1, 0). Ylhäällä: 90 astetta eli pi/2, koordinaatit (0, 1). Vasemmalla: 180 astetta eli pi, koordinaatit (-1, 0). Alhaalla: 270 astetta eli 3pi/2, koordinaatit (0, -1). Kosini on vaaka-akselin koordinaatti ja sini pystyakselin koordinaatti. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Sininen seuraa liikettä vasemmalle ja oikealle: kosini. Vihreä seuraa korkeutta: sini. Säde on yksi. Täysi kierros on 360° eli 2π radiaania.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Sini: yhtenäinen vihreä. Kosini: katkoviivainen sininen. Lue kulma alareunasta ja ympyrän arvo sivusta.

Seuraa samaa pistettä yhden kierroksen ajan

Lue pari muodossa (kosini, sini): ensin sijainti vasemmalta oikealle ja sitten korkeus.

  1. Aloita äärimmäisestä oikeasta reunasta

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    Kärki on yhden yksikön keskipisteen oikealla puolella, eikä sillä ole korkeutta. Aloita tästä ja käännä vastapäivään.

  2. Käännä neljänneskierros ylös

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    Sivusuunnan arvo pienenee nollaan samalla, kun korkeus nousee yhteen. Aaltojen kaksi merkkiä näyttävät nämä arvot samassa kulmassa.

  3. Käännä toinen neljänneskierros vasemmalle

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Keskipisteen vasemmalla puolella sivusuunnan arvo on negatiivinen. Korkeus on jälleen nolla. Alhaalla korkeus on miinus yksi.

Katso, miksi aallot alkavat eri tavalla

Aaltokuvaajien vaaka-akselilla on kulma ja pystyakselilla ympyrästä saatu arvo. Nollassa vihreä siniaalto alkaa nollasta, kun taas sininen katkoviivalla piirretty kosiniaalto alkaa yhdestä.

Neljänneskierroksen kohdalla sini saavuttaa yhden ja kosini nollan. Yhdistä säätimen avulla ympyrän kaksi arvoa aaltojen kahteen merkkiin. Täysi kierros palauttaa pisteen ja molemmat aallot alkukohtaansa.

Ympyrän säde on yksi eli sen keskipisteen ja reunan välinen etäisyys on yksi. Siksi korkeus tai sivusuunnan arvo ei voi ylittää yhtä tai miinus yhtä. Molemmat aallot pysyvät näiden rajojen välissä.

Lue sama kierros asteina tai radiaaneina

Asteet ja radiaanit ovat kaksi kulman yksikköä. Täysi kierros on 360° eli 2π radiaania. Symbolin π arvo on noin 3,14. Puoli kierrosta on π radiaania ja neljänneskierros π/2.

Kuvaajapelissä käytetään radiaaneja. Lue kulmamerkinnät ennen korkeuden vertaamista. Aallon arvo on ympyrän pisteen sijainti, ei toinen kulma.

Kokeile itse

Laske vastaus ja kerro, miten päädyit siihen. Tarkista sitten selitys.

Lue vasemmanpuoleinen piste

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Kumpi arvo kertoo korkeuden ja kumpi sijainnin vasemmalta oikealle?

Näytä vastausPiilota vastaus
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Kosini antaa sivusuunnan arvon −1. Sini antaa korkeuden nolla.

Lue alin piste

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Minkä korkeuden valo saavuttaa ympyrän alimmassa kohdassa?

Näytä vastausPiilota vastaus
−1-1

Piste on yhden yksikön keskipisteen alapuolella, joten sen sini on −1.

Valitse kosini kahdesta aallosta

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Tarkista valon aloituskohta kulmassa nolla ja vertaa sitten neljänneskierrosta.

Kuvaaja A

Nollassa arvo on nolla. Neljänneskierroksen kohdalla se on yksi.

Kuvaaja B

Nollassa arvo on yksi. Neljänneskierroksen kohdalla se on nolla.

Näytä vastausPiilota vastaus
Kuvaaja B\text{Kuvaaja B}

Kosini alkaa yhdestä ja saavuttaa nollan neljänneskierroksen jälkeen. Kuvaaja B sopii. Kuvaaja A seuraa sen sijaan korkeutta, joten se on sini.

Muuta aallon korkeutta tai nopeutta

Kaksinkertaista säännössä y = 2sin(x) jokainen korkeus. Aalto ulottuu miinus kahdesta kahteen ja toistuu edelleen 2π:n jälkeen. Yhden lisääminen siirtää koko aaltoa yhdellä ylöspäin.

Säännössä y = sin(2x) kulma muuttuu kaksi kertaa niin nopeasti. Yksi kokonainen aalto mahtuu nyt π radiaaniin. Lue alku, korkeus ja jakson pituus koko säännöstä.

Edessä oleva miinusmerkki kääntää aallon ylösalaisin: y = −sin(x). Sen huipuista tulee pohjia. Tarkista yhdellä tunnetulla kulmalla, mihin suuntaan aalto kulkee.

Osaatko erottaa aallot toisistaan?

Valitse sini- tai kosinikuvaajatehtäviä. Tarkista alku, korkeus ja jakson pituus. Pelissä käytetään radiaaneja, ja perusaaltoa voidaan venyttää tai siirtää.

2 minuutin harjoitus · jatkuu virheiden jälkeenkin · avautuu uuteen välilehteen

Kokeile sinikuvaajia Kokeile kosinikuvaajia