SumNinja

Miksi tangenttikuvaajissa on katkoksia

Noin 3 min

Tangentti vertaa, kuinka pitkälle suunta etenee ylös- ja sivusuunnassa. Jaa korkeus sivusuunnan arvolla. Suoraan ylöspäin osoittavalla suunnalla ei ole leveyttä, joten sen kuvaajassa on katkos.

Kuvittele tähtääväsi osoittimella pelissä. Alla olevan ympyrän keskipisteestä reunaan on yksi yksikkö. Osoittimen kärjen korkeus on sini ja sijainti vasemmalta oikealle kosini. Tangentti jakaa korkeuden tällä sivusuunnan arvolla. Käännä osoitinta ja katso, miksi suoraan ylöspäin tähtääminen aiheuttaa ongelman.

Ympyrän trigonometriset koordinaatit Säde on yksi. Oikealla: 0 astetta, koordinaatit (1, 0). Ylhäällä: 90 astetta eli pi/2, koordinaatit (0, 1). Vasemmalla: 180 astetta eli pi, koordinaatit (-1, 0). Alhaalla: 270 astetta eli 3pi/2, koordinaatit (0, -1). Kosini on vaaka-akselin koordinaatti ja sini pystyakselin koordinaatti. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Sininen seuraa liikettä vasemmalle ja oikealle: kosini. Vihreä seuraa korkeutta: sini. Säde on yksi. Täysi kierros on 360° eli 2π radiaania.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Seuraa osoitinta kolmessa suunnassa

Lue tangentti muodossa korkeus ÷ sivusuunnan sijainti.

  1. Tähtää vaakasuoraan oikealle

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Kärki on yhden yksikön keskipisteen oikealla puolella ilman korkeutta. Nolla jaettuna yhdellä on nolla.

  2. Tee korkeudesta ja leveydestä yhtä suuret

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    45 asteessa pituudet ovat yhtä suuret ja molemmat positiivisia. Yhtä suurten pituuksien osamäärä on yksi.

  3. Tähtää suoraan ylöspäin

    tan⁡(90∘)=10ma¨a¨rittelema¨to¨n\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{määrittelemätön}

    Yläkohdassa sivusuunnan sijainti on nolla. Mikään luku kerrottuna nollalla ei anna korkeudeksi yhtä, joten tällä jakolaskulla ei ole vastausta.

Pystysuora suunta katkaisee kuvaajan

Katkoksen kumpikin puoli kuuluu käyrän eri haaraan. Älä koskaan piirrä viivaa puuttuvan arvon yli.

Yhdistä suunta kuvaajaan

Kuvaajan vaaka-akselilla on kulma ja pystyakselilla tangentti. Vaakasuora suunta antaa pisteen (0, 0). Kulmassa 45° eli π/4 radiaania arvo on yksi.

Kun osoitin lähestyy pystysuoraa, sen korkeus pysyy lähellä yhtä ja sivusuunnan pituus pienenee. Jakaminen tällä hyvin pienellä pituudella tekee tuloksesta suuren.

Heti pystysuoran suunnan jälkeen sivusuunnan sijainti muuttuu negatiiviseksi, mutta korkeus pysyy positiivisena. Tulos muuttuu negatiiviseksi. Kuvaajassa on erillisiä haaroja, joiden välissä on katkos. Katkos itsessään ei ole ääretön.

Lue kulmamerkinnät

Sekä asteet että radiaanit mittaavat käännöksiä. Täysi kierros on 360° eli 2π radiaania. Symbolin π arvo on noin 3,14. Neljänneskierros on 90° eli π/2 radiaania. Pelissä käytetään radiaaneja.

Puoli kierrosta vaihtaa molemmat etumerkit, joten suhde pysyy samana. Tangentti toistuu siis 180°:n eli π radiaanin välein. Sen katkokset ovat kohdissa π/2, sitten 3π/2 ja niin edelleen.

Kokeile itse

Laske vastaus ja kerro, miten päädyit siihen. Tarkista sitten selitys.

Käänny vaakatason alapuolelle

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Tähtää kahdeksasosakierroksen verran oikealle osoittavan suunnan alapuolelle. Mikä tangentin arvo on tässä kohdassa?

Näytä vastausPiilota vastaus
−1-1

Sini on negatiivinen ja kosini positiivinen. Niiden itseisarvot ovat samat, joten vastaus on −1.

Tunnista määrittelemätön arvo

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Mitä tangentille tapahtuu tässä kulmassa? Selitä, miksi se ei voi olla nolla.

Näytä vastausPiilota vastaus
ma¨a¨rittelema¨to¨n\text{määrittelemätön}

Mikään luku kerrottuna nollalla ei anna yhtä, joten laskulla 1 ÷ 0 ei ole vastausta. Tulos ei ole nolla eikä ääretön.

Valitse kuvaaja, joka voi katketa

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Molemmat kulkevat nollan kautta. Kumpi voi kuvata pystysuoraa suuntaa, jonka suhdetta ei ole määritelty?

Kuvaaja A

Erillisissä haaroissa on katkoksia neljänneskierroksen kohdalla ja sen jälkeen puolen kierroksen välein.

Kuvaaja B

Yksi tasainen aalto pysyy miinus yhden ja yhden välissä ilman katkoksia.

Näytä vastausPiilota vastaus
Kuvaaja A\text{Kuvaaja A}

Kuvaajassa A on katkoksia kohdissa, joissa sivusuunnan arvo on nolla. Kuvaaja B pysyy miinus yhden ja yhden välissä ilman katkoksia, joten se ei voi olla tangentti.

Kun peli venyttää kuvaajaa

Kaksinkertaista säännössä y = 2tan(x) kuvaajan jokainen korkeus. Katkokset pysyvät paikoillaan. Luvun lisääminen siirtää kuvaajaa ylös tai alas. Miinusmerkki vaihtaa korkeuksien etumerkit, mutta katkoksia vastaavat kulmat pysyvät samoina.

Säännössä y = tan(2x) osoitin kääntyy kaksi kertaa niin nopeasti. Kuvaaja toistuu π/2:n eikä π:n jälkeen. Myös katkokset siirtyvät lähemmäs toisiaan. Tarkista koko sääntö ennen valintaa.

Testaa katkoksia koskevaa ajatusta

Yhdistä tangenttisäännöt kuvaajiin. Etsi tunnettu arvo, katkokset ja matka, jonka jälkeen muoto toistuu. Pelissä käytetään radiaaneja.

2 minuutin harjoitus · jatkuu virheiden jälkeenkin · avautuu uuteen välilehteen

Kokeile tangenttifunktioiden kuvaajatehtäviä