SumNinja

Märka kasvu, mis iga sammuga korrutab

Umbes 3 min

Sama arvu liitmine ja sama teguriga korrutamine võivad alguses sarnased tunduda. Kolmas väärtus võib erinevuse paljastada.

Aiamudel algab 3 taimega ja nende arv kahekordistub igal hooajal: 3, 6, 12, 24. Mudel, mis liidab kolm, algab nii: 3, 6, 9, 12. Esimesed kaks arvu on samad. Kolmas näitab, kas reegel liidab või korrutab.

Muuda kahekordistamine reegliks

Olgu x hooaegade ja y taimede arv. Leia taimede arv kahe hooaja järel.

  1. Pane algus kirja

    y=3×2x;x=0⇒y=3×1=3y=3\times2^x;\quad x=0\Rightarrow y=3\times1=3

    Siin loendab x hooaegu ja y taimi. Enne esimest kahekordistumist on taimi endiselt kolm. Nulli sammu märgime kujul 2⁰ = 1.

  2. Loe astet korduvate teguritena

    x=2⇒y=3×2×2=12x=2\Rightarrow y=3\times2\times2=12

    Astendaja on väike ülaindeksis arv. Siin loendab see kahtesid teguritena. See ei tähenda, et kaks korrutatakse hooaja numbriga.

  3. Kontrolli veel üht hooaega

    x=3⇒y=3×2×2×2=24x=3\Rightarrow y=3\times2\times2\times2=24

    Kahekordista kaksteist, et saada kakskümmend neli. Lisanduv hulk kasvab, kuid korrutustegur jääb kaheks.

Sama tegur tekitab kasvavaid hüppeid

Alguses on taimi kolm. Ühe hooaja järel on neid kuus, kahe järel kaksteist. Graafik kõverdub, sest lisanduv hulk kasvab.

Seo muster kõveraga

Püsiv tegur võrdsete sammude järel näitab eksponentsiaalset kasvu. Püsiv juurdekasv näitab lineaarset reeglit. Kui mõlemad mustrid tunduvad võimalikud, kontrolli kahe väärtuse asemel kolme.

Graafiku alumisel teljel on hooajad ja püstteljel taimede arv. Lisanduva hulga kasvades muutub kõver järsemaks. Täisarvulised hooajad annavad kontrollimiseks selged punktid.

Sujuv kõver näitab reeglit ka nende punktide vahel. Seal ei pea taimede arv olema täisarv. Päris taimed ei saa lõputult kahekordistuda: ruum ja toit saavad otsa. See on ühe mustri mudel.

Proovi ise

Leia vastus ja selgita oma mõttekäiku. Seejärel vaata selgitust.

Kasuta teist kasvutegurit

y=2⋅33y=2\cdot3^3

Leia tulemus kolme sammu järel. Selgita, kuidas korduv muutus erineb kolme liitmisest.

Näita vastustPeida vastus
2⋅3⋅3⋅3=542\cdot3\cdot3\cdot3=54

Väärtused on 2, 6, 18 ja 54.

Erista astmed sirgjoontest

4⋅2x4+2x4\cdot2^x\qquad4+2x

Kumb reegel kahekordistab tulemuse igal sammul? Kasuta mustrite eristamiseks piisavalt väärtusi.

Näita vastustPeida vastus
4⋅2x4\cdot2^x

Esimene annab 4, 8, 16. Teine annab 4, 6, 8, sest see liidab iga kord kaks.

Erista kahte ühesugust algust

y=2×2xy=2\times2^x

Mõlemad annavad nulli juures kaks ja ühe juures neli. Mis juhtub järgmisel sammul?

Graafik A

Esimesed kolm väärtust on kaks, neli ja kuus.

Graafik B

Esimesed kolm väärtust on kaks, neli ja kaheksa.

Näita vastustPeida vastus
Graafik B\text{Graafik B}

Kahekordistamine annab kohal x = 2 väärtuseks kaheksa. Graafik B sobib. Graafik A liidab endiselt kaks, seega annab see kuus.

Kui lisaarv nihutab kõverat

Reeglis y = 2ˣ + 3 liida kolm pärast astendamist. Kui x = 0, 1 ja 2, saad 4, 5 ja 7. Need lõpptulemused ei kahekordistu. Kui reeglis on lisanihe, arvuta punktid kogu reegli järgi.

Reeglis y = −2ˣ muudab miinusmärk iga kõrguse märki. Kõver asub nullist allpool. See ei muuda astme alust negatiivseks.

Pane kasvumuster proovile

Sobita reeglid graafikutega. Kontrolli algust ja mõnda hilisemat väärtust. Arvesta kogu reeglis iga lisakordaja või liidetava arvuga.

2-minutiline harjutus · jätka ka pärast vigu · avaneb uuel vahelehel

Proovi eksponentsiaalsete graafikute ülesandeid