SumNinja

Leia logaritmidega puuduv astendaja

Umbes 3 min

Logaritm leiab puuduva astendaja. Neli kahekordistamisringi muudavad ühe punkti kuueteistkümneks, seega log₂(16) = 4.

Mängus algab punktisumma ühest ja kahekordistub iga ringi järel. Sa tead, et see jõudis kuueteistkümneni. Ringide arvu leidmiseks liigu sellest punktisummast tagasi. Seda teeb logaritm. Väike 2 tähises log₂ ütleb, et kasutada tuleb kahe astmeid.

Leia kahekordistamisringide arv

log₂(16) = ? → 2^? = 16

  1. Tõlgi tähistus küsimuseks

    log⁡2(16)=?⟺2?=16\log_2(16)=?\quad\Longleftrightarrow\quad2^{?}=16

    Astme alus on tegur, mida ikka ja jälle kasutad. Kui alus on kaks, küsi, milline kahe aste annab kuusteist.

  2. Loenda kahekordistamissamme

    1→2→4→8→161\to2\to4\to8\to16

    Alates ühest toimub neli muutust. Algväärtus ise ei ole kahekordistamisring.

  3. Kontrolli astendades

    24=16⇒log⁡2(16)=42^4=16\quad\Rightarrow\quad\log_2(16)=4

    Neli tegurit kaks annavad taas punktisumma. Logaritm tagastab selle astendaja ehk puuduva astme.

Soovitud punktisumma liigub rõhtteljel, ringid püstteljel

Üks punkt vajab null ringi, kaks vajab üht, neli kaht ja kaheksa kolme. Soovitud punktisumma kahekordistamine lisab kõrgusele ühe.

Koosta samast küsimusest graafik

Olgu reeglis y = log₂(x) x soovitud punktisumma ja y selleks vajalike ringide arv. Kaheksa punkti vajab kolme ringi, seega on (8, 3) graafiku punkt.

Punktisummad 1, 2, 4 ja 8 annavad ringide arvuks 0, 1, 2 ja 3. Iga kahekordistamine suurendab kõrgust ühe võrra. Punktisummade vahed kasvavad, mistõttu tõuseb kõver aeglasemalt.

Kahe aste on alati nullist suurem. See ei saa anda soovitud punktisummaks nulli ega negatiivset arvu, seega vajab see graafik nullist suuremat x-i. Pool punkti tähendab ühe kahekordistamissammu võrra tagasiliikumist: 2⁻¹ = 1/2, seega log₂(1/2) = −1.

Muuda alust, mitte tähendust

Kui alus on kolm, kolmekordistab iga samm algväärtuse. Kuna 3² = 9, siis log₃(9) = 2. Ülesanne jääb samaks: leia astendaja. Soovitud väärtuse saab paigutada ka tuttavate astmete vahele ilma selle täpset väärtust leidmata.

Proovi ise

Leia vastus ja selgita oma mõttekäiku. Seejärel vaata selgitust.

Muuda soovitud väärtust

log⁡2(32)\log_2(32)

Mitu kahekordistamisringi on vaja, et jõuda ühest selle väärtuseni?

Näita vastustPeida vastus
55

2⁵ = 32, seega on puuduv astendaja 5.

Loe teistsugust alust

log⁡3(81)\log_3(81)

Milline kolme aste annab soovitud väärtuse? Kontrolli tagurpidi korrutades.

Näita vastustPeida vastus
44

3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Hinda tuttavate astmete vahel

log⁡2(12)\log_2(12)

Kasuta kaheteistkümnest vahetult väiksemat ja suuremat kahe astet, et puuduv astendaja paigutada.

Näita vastustPeida vastus
3<log⁡2(12)<43<\log_2(12)<4

Kuna 2³ = 8 ja 2⁴ = 16, on kaksteist andev astendaja kolme ja nelja vahel.

Vali graafik, mis näitab ringide arvu punktisumma järgi

y=log⁡2(x)y=\log_2(x)

Milline graafik annab õige ringide arvu, kui soovitud punktisumma on üks?

Graafik A

Punktisummade üks, kaks ja neli juures on kõrgused null, üks ja kaks.

Graafik B

Punktisummade üks, kaks ja neli juures on kõrgused kaks, kolm ja neli.

Näita vastustPeida vastus
Graafik A\text{Graafik A}

Ühest punktist alustades pole vaja ühtegi kahekordistamisringi. Graafikul A on punkt (1, 0). Graafiku B iga kõrgus on kahe võrra suurem.

Miks võib logaritmiline skaala kasulik olla?

Tavalisel skaalal tähendavad võrdsed vahed võrdseid liitmisi: üks, kaks, kolm, neli. Kahendlogaritmilisel skaalal tähendavad võrdsed vahed kahekordistamist: üks, kaks, neli, kaheksa. Nii saab väikeses ruumis näidata väga suuri muutusi.

Logaritmiline skaala muudab telje jaotust. Ülal olev graafik kujutab aga logaritmi tavalistel telgedel. Need ideed on seotud, kuid ei tähenda sama pilti.

Loe nihutatud või ümberpööratud logaritmi graafikut

Logaritmi ees olev arv korrutab selle tulemust. Reeglis y = 2log₂(x) annab x = 4 tulemuseks 2 × 2 = 4.

Reeglis y = log₂(x) + 2 liida igale kõrgusele kaks. Seega annab x = 1 tulemuseks y = 2. Logaritmi ees olev miinusmärk pöörab kõvera tagurpidi. Enne valimist kontrolli kogu reeglis mõnd tuttavat astet.

Proovi seost graafikuga

Mäng palub sul sobitada logaritmireegleid graafikutega. Kasuta soovitud väärtust, mis on sulle tuttav aste, ja kontrolli siis selle kõrgust. Arvesta kogu reeglis kõigi muudatustega.

2-minutiline harjutus · jätka ka pärast vigu · avaneb uuel vahelehel

Proovi logaritmiliste graafikute ülesandeid