SumNinja

Mõista siinust ja koosinust ühe ringi abil

Umbes 3 min

Siinus näitab, kuidas punkti kõrgus ringil muutub. Koosinus näitab selle vasak-parem väärtust. Kui need väärtused ühe pöörde jooksul graafikule kanda, saad kaks lainet.

Mängu valgus liigub mööda ringi. Sinu ülesanne on jälgida selle kõrgust ja teha kahel lainegraafikul vahet. Alloleva ringi kaugus keskpunktist servani on üks ühik. Selle tipu kõrgus on siinus ja vasak-parem väärtus on koosinus. Kui osutit pöörata, muutuvad mõlemad korraga.

Koordinaadid ühikringjoonel Raadius on üks. Paremal: 0 kraadi, koordinaadid (1, 0). Üleval: 90 kraadi ehk pi/2, koordinaadid (0, 1). Vasakul: 180 kraadi ehk pi, koordinaadid (-1, 0). All: 270 kraadi ehk 3pi/2, koordinaadid (0, -1). Koosinus on horisontaalkoordinaat ja siinus vertikaalkoordinaat. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Sinine näitab liikumist vasakule ja paremale: koosinus. Roheline näitab kõrgust: siinus. Raadius on üks. Täispööre on 360° ehk 2π radiaani.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Siinus: pidev roheline. Koosinus: katkendlik sinine. Loe nurka altservast ja ringi väärtust külgservast.

Jälgi sama punkti ühe pöörde jooksul

Loe paari kujul (koosinus, siinus): kõigepealt vasak-parem väärtus, siis kõrgus.

  1. Alusta täiesti paremalt

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    Tipp on keskpunktist ühe ühiku võrra paremal ja selle kõrgus on null. Alusta siit ja pööra siis vastupäeva.

  2. Pööra veerand pööret üles

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    Külgsuunaline väärtus jõuab nulli, samal ajal kui kõrgus jõuab üheni. Kaks laine tähist näitavad neid väärtusi sama nurga juures.

  3. Pööra veel veerand pööret vasakule

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Keskpunktist vasakul olemine tähendab negatiivset vasak-parem väärtust. Kõrgus on jälle null. Allosas muutub kõrgus väärtuseks miinus üks.

Vaata, miks lained algavad erinevalt

Lainegraafikutel on nurk all teljel ja ringi väärtus külgteljel. Nulli juures algab roheline siinuslaine nullist, katkendlik sinine koosinuslaine aga ühest.

Veerand pöörde juures jõuab siinus üheni, koosinus aga nulli. Kasuta juhtelementi, et viia ringi kaks väärtust kokku kahe tähisega. Täispöörde järel jõuavad punkt ja mõlemad lained tagasi algusse.

Ringi raadius on üks: kaugus keskpunktist servani on üks. Seega ei saa ei kõrgus ega vasak-parem väärtus minna üle ühe ega alla miinus ühe. Mõlemad lained jäävad nende piiride vahele.

Loe sama pööret kraadides või radiaanides

Kraadid ja radiaanid on kaks nurgaühikut. Täispööre on 360° ehk 2π radiaani. Sümbol π on umbes 3,14. Pool pööret on π radiaani ja veerand pööret on π/2.

Graafikumäng kasutab radiaane. Loe enne kõrguste võrdlemist nurkade märgiseid. Väärtus lainel on asukoht ringil, mitte mõni teine nurk.

Proovi ise

Leia vastus ja selgita oma mõttekäiku. Seejärel vaata selgitust.

Loe vasakpoolset punkti

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

Kumb väärtus näitab kõrgust ja kumb vasak-parem asendit?

Näita vastustPeida vastus
cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

Koosinus annab vasak-parem väärtuse −1. Siinus annab kõrguseks nulli.

Loe alumist punkti

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

Mis kõrguse valgus oma ringi allosas saavutab?

Näita vastustPeida vastus
−1-1

Punkt asub keskpunktist ühe ühiku võrra allpool, seega on selle siinus −1.

Vali kahest lainest koosinus

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Vaata, kust valgus algab nurga null juures, ja võrdle siis veerand pööret.

Graafik A

Nulli juures on väärtus null. Veerand pöörde juures on see üks.

Graafik B

Nulli juures on väärtus üks. Veerand pöörde juures on see null.

Näita vastustPeida vastus
Graafik B\text{Graafik B}

Koosinus algab ühest ja jõuab pärast veerand pööret nulli. Sobib graafik B. Graafik A jälgib hoopis kõrgust, seega on see siinus.

Muuda laine kõrgust või kiirust

Võrrandis y = 2sin(x) kahekordistad kõik kõrgused. Laine ulatub miinus kahest kaheni ja kordub ikka pärast 2π. Kui liidad ühe, nihkub kogu laine ühe võrra üles.

Võrrandis y = sin(2x) muutub nurk kaks korda kiiremini. Nüüd mahub üks terve laine π radiaani sisse. Loe algus, kõrgus ja korduse pikkus välja kogu reeglist.

Ees olev miinusmärk pöörab laine tagurpidi: y = −sin(x). Selle tipud muutuvad põhjadeks. Vaata ühte tuttavat nurka, et näha, kummale poole see liigub.

Kas arvad, et teed neil lainetel vahet?

Vali siinuse või koosinuse graafiku küsimused. Vaata algust, kõrgust ja korduse pikkust. Mäng kasutab radiaane ning võib põhilaine kuju venitada või nihutada.

2-minutiline harjutus · jätka ka pärast vigu · avaneb uuel vahelehel

Proovi siinuse graafikuid Proovi koosinuse graafikuid