SumNinja

Miks on tangensi graafikus katkestused?

Umbes 3 min

Tangens võrdleb suuna kõrgust ja laiust. Jaga kõrgus vasak-parem väärtusega. Otse üles suunatud sihil pole laiust, seega tekib graafikusse katkestus.

Kujutle, et sihid mängus osutiga. Alloleva ringi keskpunktist servani on üks ühik. Osuti tipu kõrgus on siinus ja selle vasak-parem väärtus on koosinus. Tangens jagab kõrguse selle vasak-parem väärtusega. Pööra osutit, et näha, miks tekitab otse üles sihtimine raskusi.

Koordinaadid ühikringjoonel Raadius on üks. Paremal: 0 kraadi, koordinaadid (1, 0). Üleval: 90 kraadi ehk pi/2, koordinaadid (0, 1). Vasakul: 180 kraadi ehk pi, koordinaadid (-1, 0). All: 270 kraadi ehk 3pi/2, koordinaadid (0, -1). Koosinus on horisontaalkoordinaat ja siinus vertikaalkoordinaat. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Sinine näitab liikumist vasakule ja paremale: koosinus. Roheline näitab kõrgust: siinus. Raadius on üks. Täispööre on 360° ehk 2π radiaani.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Jälgi osutit kolmes suunas

Loe tangensit kui kõrgus ÷ külgsuunaline asukoht.

  1. Sihi rõhtsalt paremale

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Osuti tipp asub keskpunktist ühe ühiku paremal ja sellel pole kõrgust. Null jagatud ühega on null.

  2. Tee kõrgus ja laius võrdseks

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    45 kraadi juures on mõlemad pikkused võrdsed ja positiivsed. Võrdsete pikkuste jagatis on üks.

  3. Sihi otse üles

    tan⁡(90∘)=10pole ma¨a¨ratud\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{pole määratud}

    Ülal on külgsuunaline asukoht null. Mitte ükski arv korrutatuna nulliga ei anna kõrguseks ühte, seega pole sellel jagatisel vastust.

Püstine siht tekitab katkestuse

Katkestuse kummalgi küljel on eraldi kõveraharu. Ära kunagi tõmba joont üle puuduva väärtuse.

Seo siht graafikuga

Graafiku alumisel teljel on nurk ja püstteljel tangens. Rõhtne siht annab punkti (0, 0). Nurga 45° ehk π/4 radiaani juures on väärtus üks.

Kui osuti läheneb otse üles suunale, jääb selle kõrgus ühe lähedale, kuid külgsuunaline pikkus kahaneb. Selle tillukese pikkusega jagamine muudab tulemuse suureks.

Vahetult pärast otse üles suunda muutub külgsuunaline asukoht negatiivseks, kõrgus aga jääb positiivseks. Tulemus muutub negatiivseks. Graafik koosneb eraldi harudest, mille vahel on katkestus. Katkestus ise ei ole lõpmatus.

Loe nurkade tähiseid

Nii kraadid kui ka radiaanid mõõdavad pöördeid. Täispööre on 360° ehk 2π radiaani. Sümbol π on ligikaudu 3,14. Veerandpööre on 90° ehk π/2 radiaani. Mäng kasutab radiaane.

Poolpööre muudab mõlema märki ja seega jääb suhe samaks. Sellepärast kordub tangens iga 180° ehk π radiaani järel. Katkestused on kohal π/2, seejärel 3π/2 ja nii edasi.

Proovi ise

Leia vastus ja selgita oma mõttekäiku. Seejärel vaata selgitust.

Pööra rõhtteljest allapoole

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Sihi paremale suunast kaheksandik pööret allapoole. Milline on seal tangensi väärtus?

Näita vastustPeida vastus
−1-1

Siinus on negatiivne ja koosinus positiivne. Nende absoluutväärtused on võrdsed, seega on vastus −1.

Tunne ära määramata väärtus

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Mis juhtub tangensiga selle nurga juures? Selgita, miks see ei saa olla null.

Näita vastustPeida vastus
pole ma¨a¨ratud\text{pole määratud}

Mitte ükski arv korrutatuna nulliga ei anna ühte, seega pole jagatisel 1 ÷ 0 vastust. See pole null ega lõpmatus.

Vali graafik, milles võib olla katkestusi

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Mõlemad läbivad nullpunkti. Kumb võib kujutada püstist sihti, mille suhe pole määratud?

Graafik A

Eraldi harudel on katkestused veerandpöörde juures ja seejärel iga poolpöörde järel.

Graafik B

Üks sujuv laine püsib miinus ühe ja ühe vahel ilma katkestusteta.

Näita vastustPeida vastus
Graafik A\text{Graafik A}

Graafikul A on katkestused seal, kus vasak-parem väärtus on null. Graafik B püsib miinus ühe ja ühe vahel ning selles pole katkestusi, seega ei saa see olla tangens.

Kui mäng venitab graafikut

Reeglis y = 2tan(x) kahekordista graafiku iga kõrgus. Katkestused jäävad paigale. Arvu liitmine nihutab graafikut üles või alla. Miinusmärk pöörab kõrgused ümber, kuid jätab katkestuste nurgad samaks.

Reeglis y = tan(2x) pöördub osuti kaks korda kiiremini. Graafik kordub π asemel π/2 järel. Ka katkestused liiguvad üksteisele lähemale. Enne valimist kontrolli kogu reeglit.

Pane katkestuse mõte proovile

Sobita tangensireeglid graafikutega. Otsi tuttavat väärtust, katkestusi ja vahemaad, mille järel kuju kordub. Mäng kasutab radiaane.

2-minutiline harjutus · jätka ka pärast vigu · avaneb uuel vahelehel

Proovi tangensi graafikute ülesandeid