SumNinja

Vertaa suuntia pistetulon avulla

Noin 3 min

Pistetulo antaa yhden luvun. Sen etumerkki kertoo, onko kohde menosuunnan edessä, sivulla vai takana.

Pelinappula osoittaa vektorin (2, 1) suuntaan: kaksi oikealle ja yksi ylös. Kohde on siitä vektorin (−1, 3) päässä: yksi vasemmalle ja kolme ylös. Onko kohde edessä vai takana? Pistetulo muuttaa kaksi vektoria yhdeksi luvuksi, jonka etumerkki vastaa kysymykseen.

Vertaa kohdetta menosuuntaan

Laske vektorien (2, 1) ja (−1, 3) pistetulo.

  1. Kerro vastaavat osat

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    Kohteen vasemmalle suuntautuva osa vaikuttaa oikealle osoittavaa suuntaa vastaan. Sen ylöspäin suuntautuva osa vaikuttaa ylöspäin osoittavan osan kanssa samaan suuntaan.

  2. Laske kaksi osuutta yhteen

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Kolme on suurempi kuin miinus kaksi, joten vastaus on positiivinen. Tulos on skalaari eli yksi luku, ei pari (−2, 3).

  3. Vastaa suuntakysymykseen

    1>0⇒edessa¨1>0\quad\Rightarrow\quad\text{edessä}

    Kohde on menosuunnan etupuolella. Edessä ei tarkoita, että se olisi täsmälleen samalla suoralla.

Kohde on näytöllä vasemmalla mutta A:n edessä

A näyttää menosuunnan ja B kohteen. Varjostettu puolisko on A:n edessä. Katkoviiva merkitsee A:han nähden suoraa kulmaa.

Lue kuvasta eteenpäin osoittava puoli

Rajaviiva kulkee nappulan kautta suorassa kulmassa sen menosuuntaan nähden. Tällä viivalla olevan kohteen vaikutus etusuuntaan on nolla. Viivan ulkopuolella olevat kohteet ovat joko etu- tai takapuolella.

Kahden nollasta poikkeavan vektorin positiivinen pistetulo tarkoittaa alle 90°:n kulmaa. Negatiivinen tulos tarkoittaa yli 90°:n kulmaa. Nolla tarkoittaa suoraa kulmaa eli vektorit ovat kohtisuorassa.

Etumerkki antaa siis hyödyllisen testin silloinkin, kun kohde on näytöllä vasemmalla. Vertaa kohdetta menosuuntaan, älä vain vasenta oikeaan.

Kokeile itse

Laske vastaus ja kerro, miten päädyit siihen. Tarkista sitten selitys.

Tunnista suora kulma

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Laske yhden luvun tulos. Mitä sen etumerkki kertoo vektorien välisestä kulmasta?

Näytä vastausPiilota vastaus
00

Tulot 2 ja −2 ovat yhteenlaskettuina nolla, joten nämä nollasta poikkeavat vektorit ovat kohtisuorassa.

Anna vastaukseksi yksi luku

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Laske yksi luku parin sijaan. Selitä, miksi kaksi tuloa täytyy yhdistää.

Näytä vastausPiilota vastaus
55

Laske −1 × 3 + 2 × 4. Saat −3 + 8 = 5.

Tee pelipäätös tuloksen avulla

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Onko kohde tämän menosuunnan edessä, takana vai täsmälleen sivulla?

Näytä vastausPiilota vastaus
Takana\text{Takana}

Pistetulo on miinus kaksi. Kun menosuunta on oikealle, kohteen sijainti vasemmalla lasketaan takapuolelle. Sen ylöspäin suuntautuva osa ei muuta etumerkkiä.

Miksi suuri tulos ei tarkoita pienempää kulmaa

Kulma pysyy samana, kun kaksinkertaistat toisen vektorin, mutta pistetulo kaksinkertaistuu. Arvo riippuu siis molemmista pituuksista. Yksikkövektorin pituus on yksi. Poista pituuden vaikutus yksikkövektorien avulla.

Nollavektorin pistetulo minkä tahansa vektorin kanssa on nolla. Nollavektorilla ei kuitenkaan ole suuntaa, joten tämä tapaus ei osoita suoraa kulmaa. Kulmasääntö vaatii kaksi nollasta poikkeavaa vektoria.

Kokeile suuntatestin taustalla olevaa laskua

Peli pyytää pienten kokonaislukuvektorien pistetuloja. Anna vastaukseksi yksi luku. Käytä sen etumerkkiä suunnan pohtimiseen, vaikka peli pyytää vain laskun tulosta.

2 minuutin harjoitus · jatkuu virheiden jälkeenkin · avautuu uuteen välilehteen

Kokeile pistetuloja