SumNinja

Dùng tích vô hướng để so sánh hướng

Khoảng 4 phút

Tích vô hướng cho một số. Dấu của số đó cho biết mục tiêu nằm phía trước, sang bên hay phía sau hướng đang nhìn.

Một quân cờ nhìn theo hướng (2, 1): sang phải 2 và lên 1. Một mục tiêu nằm tại (−1, 3) so với quân cờ: sang trái 1 và lên 3. Mục tiêu ở phía trước hay phía sau? Tích vô hướng biến hai vectơ thành một số có dấu trả lời câu hỏi đó.

So sánh mục tiêu với hướng nhìn

Tìm tích vô hướng của (2, 1) và (−1, 3).

  1. Nhân các thành phần tương ứng

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    Thành phần hướng trái của mục tiêu đối nghịch với thành phần hướng phải của hướng nhìn. Thành phần hướng lên của mục tiêu cùng chiều với thành phần hướng lên của hướng nhìn.

  2. Cộng hai phần đóng góp

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Ba lớn hơn âm hai nên còn lại một đáp án dương. Kết quả là một đại lượng vô hướng: một số, không phải cặp (−2, 3).

  3. Trả lời câu hỏi về hướng

    1>0⇒phıˊa trước1>0\quad\Rightarrow\quad\text{phía trước}

    Mục tiêu nằm ở phía trước của hướng nhìn. Ở phía trước không có nghĩa là nằm đúng trên cùng một đường thẳng.

Mục tiêu nằm bên trái màn hình nhưng ở phía trước A

A cho biết hướng nhìn và B cho biết mục tiêu. Nửa được tô nằm phía trước A. Đường biên nét đứt vuông góc với A.

Đọc phần phía trước trong hình

Đường biên đi qua quân cờ và vuông góc với hướng nhìn của nó. Mục tiêu nằm trên đường đó không đóng góp gì theo hướng tiến. Các mục tiêu ở hai bên đường nằm ở phía trước hoặc phía sau.

Với hai vectơ khác không, tích vô hướng dương nghĩa là góc nhỏ hơn 90°. Kết quả âm nghĩa là góc lớn hơn 90°. Kết quả bằng 0 nghĩa là góc vuông, còn gọi là vuông góc.

Vì vậy, dấu cho ta một cách kiểm tra hữu ích ngay cả khi mục tiêu nằm bên trái màn hình. Hãy so sánh với hướng nhìn chứ không chỉ nhìn trái hay phải.

Tự thử nhé

Tìm đáp án và giải thích cách suy luận. Sau đó kiểm tra phần giải thích.

Phát hiện góc vuông

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Tính kết quả là một số. Dấu của nó cho biết mối quan hệ góc nào?

Hiện đáp ánẨn đáp án
00

Hai kết quả 2 và −2 cộng thành 0, nên hai vectơ khác không này gặp nhau theo góc vuông.

Trả lời bằng một số

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Tìm một số duy nhất thay vì một cặp. Hãy giải thích vì sao phải cộng hai tích lại.

Hiện đáp ánẨn đáp án
55

Tính −1 × 3 + 2 × 4. Ta được −3 + 8 = 5.

Dùng kết quả để quyết định trong trò chơi

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Mục tiêu ở phía trước, phía sau hay đúng bên cạnh hướng nhìn này?

Hiện đáp ánẨn đáp án
Phıˊa sau\text{Phía sau}

Tích vô hướng bằng âm 2. Khi nhìn sang phải, vị trí bên trái của mục tiêu được tính là phía sau. Thành phần hướng lên không làm thay đổi dấu đó.

Vì sao kết quả lớn không có nghĩa là góc nhỏ hơn

Góc vẫn giữ nguyên khi bạn nhân đôi một vectơ, nhưng tích vô hướng tăng gấp đôi. Vì vậy, giá trị phụ thuộc vào cả hai độ dài. Vectơ đơn vị có độ dài bằng 1. Hãy dùng vectơ đơn vị để loại bỏ ảnh hưởng của độ dài.

Vectơ không có tích vô hướng bằng 0 với mọi vectơ. Nhưng nó không có hướng nên trường hợp này không biểu thị một góc vuông. Quy tắc về góc cần hai vectơ khác không.

Thử phép tính đứng sau bài kiểm tra hướng

Trò chơi yêu cầu tính tích vô hướng của các vectơ số nguyên nhỏ. Hãy trả lời bằng một số. Dùng dấu của nó để suy nghĩ về hướng, dù trò chơi chỉ hỏi phép tính.

Luyện tập 2 phút · tiếp tục sau khi sai · mở trong thẻ mới

Thử tính tích vô hướng