SumNinja

Vì sao đồ thị hàm tan có các khoảng đứt đoạn

Khoảng 4 phút

Tan so sánh một hướng đi lên và đi ngang bao xa. Lấy độ cao chia cho vị trí trái-phải. Hướng thẳng lên không có độ rộng nên đồ thị bị đứt tại đó.

Hãy tưởng tượng bạn đang ngắm một kim chỉ trong trò chơi. Đường tròn bên dưới có khoảng cách từ tâm đến mép bằng 1 đơn vị. Độ cao của đầu mút là sin; vị trí trái-phải là cos. Tan lấy độ cao chia cho vị trí trái-phải đó. Hãy xoay kim để xem vì sao hướng thẳng lên gây ra vấn đề.

Tọa độ trên đường tròn đơn vị Bán kính bằng một. Bên phải: 0 độ, tọa độ (1, 0). Phía trên: 90 độ hoặc pi chia hai, tọa độ (0, 1). Bên trái: 180 độ hoặc pi, tọa độ (-1, 0). Phía dưới: 270 độ hoặc ba pi chia hai, tọa độ (0, -1). Cos là tọa độ ngang, còn sin là tọa độ dọc. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
Màu xanh dương theo dõi vị trí trái phải: cos. Màu xanh lá theo dõi độ cao: sin. Bán kính bằng một. Một vòng tròn là 360°, hay 2π radian.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Theo dõi kim chỉ qua ba hướng

Đọc tan là độ cao ÷ vị trí ngang.

  1. Hướng ngang sang phải

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    Đầu mút nằm cách tâm 1 đơn vị về bên phải và có độ cao bằng 0. Số 0 chia cho 1 bằng 0.

  2. Đưa độ cao và độ rộng về cùng độ lớn

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    Tại 45 độ, hai độ dài bằng nhau và đều dương. Hai độ dài bằng nhau chia cho nhau bằng 1.

  3. Hướng thẳng lên

    tan⁡(90∘)=10khoˆng xaˊc định\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{không xác định}

    Ở điểm trên cùng, vị trí ngang bằng 0. Không có số nào nhân với 0 lại cho độ cao bằng 1, nên phép chia này không có đáp án.

Hướng thẳng đứng tạo ra một chỗ đứt

Mỗi phía của khoảng trống thuộc về một phần riêng của đường cong. Không bao giờ nối đường thẳng qua giá trị không tồn tại.

Nối hướng ngắm với đồ thị

Đồ thị đặt góc dọc theo trục dưới và giá trị tan dọc theo trục bên. Hướng ngang cho điểm (0, 0). Tại 45°, hay π/4 radian, giá trị bằng 1.

Khi kim chỉ gần hướng thẳng lên, độ cao vẫn gần 1 trong khi độ dài ngang nhỏ dần. Chia cho độ dài rất nhỏ đó làm kết quả trở nên lớn.

Ngay sau khi vượt qua hướng thẳng lên, vị trí ngang trở thành âm trong khi độ cao vẫn dương. Kết quả chuyển sang âm. Đồ thị gồm các phần riêng biệt với khoảng trống ở giữa. Bản thân khoảng trống không phải là vô cực.

Đọc các nhãn góc

Độ và radian đều đo góc quay. Một vòng đầy đủ là 360°, hay 2π radian. Ký hiệu π xấp xỉ 3,14. Một phần tư vòng là 90°, hay π/2 radian. Trò chơi dùng radian.

Nửa vòng đảo dấu cả hai giá trị nên tỉ số vẫn giữ nguyên. Vì vậy, tan lặp lại sau mỗi 180°, hay π radian. Các khoảng đứt nằm tại π/2, rồi 3π/2, và cứ thế tiếp tục.

Tự thử nhé

Tìm đáp án và giải thích cách suy luận. Sau đó kiểm tra phần giải thích.

Xoay xuống dưới phương ngang

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Hướng xuống dưới một phần tám vòng so với hướng sang phải. Giá trị tan tại đó là bao nhiêu?

Hiện đáp ánẨn đáp án
−1-1

Sin âm và cos dương. Độ lớn của chúng bằng nhau nên đáp án là −1.

Nhận biết một giá trị không xác định

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

Điều gì xảy ra với tan tại góc này? Hãy giải thích vì sao giá trị không thể bằng 0.

Hiện đáp ánẨn đáp án
khoˆng xaˊc định\text{không xác định}

Không có số nào nhân với 0 bằng 1, nên 1 ÷ 0 không có đáp án. Kết quả không phải 0 cũng không phải vô cực.

Chọn đồ thị có thể bị đứt đoạn

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Cả hai đều đi qua 0. Đồ thị nào có thể biểu diễn hướng thẳng đứng khi tỉ số không xác định?

Đồ thị A

Các phần riêng biệt bị đứt tại một phần tư vòng rồi sau mỗi nửa vòng.

Đồ thị B

Một đường sóng liền mạch luôn nằm giữa âm 1 và 1 mà không bị đứt.

Hiện đáp ánẨn đáp án
Đoˆˋ thị A\text{Đồ thị A}

Đồ thị A có các khoảng đứt tại nơi giá trị trái-phải bằng 0. Đồ thị B luôn nằm giữa âm 1 và 1 mà không bị đứt nên không thể là tan.

Khi trò chơi kéo giãn đồ thị

Trong y = 2tan(x), nhân đôi mọi độ cao trên đồ thị. Các khoảng đứt giữ nguyên vị trí. Cộng một số sẽ dịch đồ thị lên hoặc xuống. Dấu trừ lật dấu các độ cao nhưng giữ nguyên các góc có khoảng đứt.

Trong y = tan(2x), kim chỉ quay nhanh gấp đôi. Đồ thị lặp lại sau π/2 thay vì π. Các khoảng đứt cũng xích lại gần nhau hơn. Hãy kiểm tra toàn bộ quy tắc trước khi chọn.

Kiểm tra ý tưởng về các khoảng đứt

Ghép các quy tắc tan với đồ thị. Tìm một giá trị đã biết, các khoảng đứt và khoảng cách trước khi hình dạng lặp lại. Trò chơi dùng radian.

Luyện tập 2 phút · tiếp tục sau khi sai · mở trong thẻ mới

Thử câu hỏi về đồ thị hàm tan