SumNinja

Usa el producto escalar para comparar direcciones

Unos 4 min

Un producto escalar da un solo número. Su signo indica si un objetivo está delante, a un lado o detrás de la dirección en la que miras.

Una ficha mira en la dirección (2, 1): dos a la derecha y uno hacia arriba. Un objetivo está en (−1, 3) respecto a ella: uno a la izquierda y tres hacia arriba. ¿Está delante o detrás? El producto escalar convierte los dos vectores en un número cuyo signo responde a la pregunta.

Compara el objetivo con la dirección de la mirada

Calcula el producto escalar de (2, 1) y (−1, 3).

  1. Multiplica las componentes correspondientes

    2(−1)=−2;1(3)=32(-1)=-2;\quad1(3)=3

    La componente izquierda del objetivo cuenta en contra de la componente derecha de la mirada. Su componente hacia arriba cuenta a favor de la componente hacia arriba.

  2. Suma las dos contribuciones

    [21]⋅[−13]=−2+3=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=-2+3=1

    Tres supera a menos dos y queda un resultado positivo. El resultado es un escalar: un solo número, no el par (−2, 3).

  3. Responde a la pregunta sobre la dirección

    1>0⇒delante1>0\quad\Rightarrow\quad\text{delante}

    El objetivo está en el lado delantero respecto a la dirección de la mirada. Estar delante no significa estar exactamente sobre la misma línea.

El objetivo está a la izquierda de la pantalla, pero delante de A

A indica la dirección hacia la que mira la ficha y B indica el objetivo. La mitad sombreada está delante de A. El límite discontinuo forma un ángulo recto con A.

Lee el lado delantero del dibujo

El límite cruza la ficha en ángulo recto respecto a la dirección de su mirada. Un objetivo sobre esa línea no aporta nada hacia delante. Los objetivos más allá de ella quedan delante o detrás.

Para dos vectores no nulos, un producto escalar positivo significa un ángulo menor que 90°. Un resultado negativo significa un ángulo mayor que 90°. Cero significa un ángulo recto, también llamado perpendicular.

Por eso, el signo ofrece una prueba útil aunque el objetivo esté a la izquierda de la pantalla. Compara con la dirección de la mirada, no solo izquierda con derecha.

Pruébalo tú

Resuelve la respuesta y explica tu razonamiento. Después, comprueba la explicación.

Detecta un ángulo recto

[2−1]⋅[12]\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

Calcula el resultado de un solo número. ¿Qué relación angular revela su signo?

Mostrar la respuestaOcultar la respuesta
00

Los resultados 2 y −2 suman cero, así que estos vectores no nulos forman un ángulo recto.

Da un solo número

[−12]⋅[34]\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

Halla un solo número, no un par. Explica por qué deben combinarse los dos productos.

Mostrar la respuestaOcultar la respuesta
55

Calcula −1 × 3 + 2 × 4. El resultado es −3 + 8 = 5.

Usa el resultado para tomar una decisión en el juego

[10]⋅[−23]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

¿Está el objetivo delante, detrás o exactamente a un lado de esta dirección?

Mostrar la respuestaOcultar la respuesta
detraˊs\text{detrás}

El producto escalar es menos dos. Al mirar hacia la derecha, la posición izquierda del objetivo cuenta como detrás. Su componente hacia arriba no cambia ese signo.

Por qué un resultado grande no significa un ángulo menor

El ángulo no cambia al duplicar un vector, pero el producto escalar se duplica. Por eso el valor depende de ambas longitudes. Un vector unitario tiene longitud uno. Usa vectores unitarios para eliminar el efecto de la longitud.

El vector cero da un producto escalar cero con cualquier vector. Pero no tiene dirección, así que este caso no representa un ángulo recto. La regla del ángulo necesita dos vectores no nulos.

Practica el cálculo que hay detrás de la prueba de dirección

El juego pide productos escalares de vectores pequeños con componentes enteras. Da un solo número. Usa su signo para pensar en la dirección, aunque el juego pida el cálculo.

Práctica de 2 minutos · sigue aunque te equivoques · se abre en una pestaña nueva

Practicar productos escalares