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Por qué las gráficas de la tangente tienen huecos

Unos 4 min

La tangente compara cuánto sube una dirección y cuánto avanza a izquierda y derecha. Divide la altura entre el valor horizontal. Una dirección recta hacia arriba no tiene anchura, así que su gráfica tiene un hueco.

Imagina que apuntas con un puntero en un juego. El círculo de abajo mide una unidad desde el centro hasta el borde. La altura de la punta es el seno; su valor horizontal es el coseno. La tangente divide la altura entre ese valor horizontal. Gira el puntero para ver por qué apuntar recto hacia arriba da problemas.

Coordenadas en una circunferencia unidad Radio 1. A la derecha: 0 grados, coordenadas (1, 0). Arriba: 90 grados o pi medios, coordenadas (0, 1). A la izquierda: 180 grados o pi, coordenadas (-1, 0). Abajo: 270 grados o tres pi medios, coordenadas (0, -1). El coseno es la coordenada horizontal y el seno, la vertical. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
El azul sigue el movimiento a izquierda y derecha: coseno. El verde sigue la altura: seno. El radio es 1. Una vuelta completa son 360° o 2π radianes.

cos ≈ 0,707; sin ≈ 0,707; tan = 1

Sigue el puntero en tres direcciones

Lee la tangente como altura ÷ posición horizontal.

  1. Apunta en horizontal hacia la derecha

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac01=0

    La punta está una unidad a la derecha del centro, sin altura. Cero dividido entre uno da cero.

  2. Haz que la altura y la anchura tengan el mismo valor

    tan⁡(45∘)=tan⁡(π/4)=1\tan(45^\circ)=\tan(\pi/4)=1

    A 45 grados, las dos longitudes coinciden y ambas son positivas. Dividir longitudes iguales da uno.

  3. Apunta recto hacia arriba

    tan⁡(90∘)=10indefinida\tan(90^\circ)=\frac10\quad\text{indefinida}

    Arriba del todo, la posición horizontal es cero. Ningún número multiplicado por cero puede dar una altura de uno, así que esta división no tiene respuesta.

Una dirección vertical provoca una interrupción

Cada lado de un hueco pertenece a su propio tramo de la curva. No dibujes nunca una línea sobre el valor que falta.

Relaciona la dirección con la gráfica

La gráfica pone el ángulo abajo y la tangente en el eje vertical. Una dirección horizontal da (0, 0). A 45°, o π/4 radianes, el valor es uno.

Cuando el puntero se acerca a la vertical, su altura se mantiene cerca de uno mientras su longitud horizontal se hace pequeña. Dividir entre esa longitud tan pequeña hace que el resultado sea grande.

Justo después de la vertical, la posición horizontal pasa a ser negativa mientras la altura sigue siendo positiva. El resultado se vuelve negativo. La gráfica tiene tramos separados con un hueco entre ellos. El hueco en sí no es infinito.

Lee las marcas de los ángulos

Los grados y los radianes sirven para medir giros. Un giro completo son 360°, o 2π radianes. El símbolo π vale aproximadamente 3,14. Un cuarto de giro son 90°, o π/2 radianes. El juego usa radianes.

Medio giro cambia ambos signos, y eso hace que la razón siga siendo la misma. Por eso la tangente se repite cada 180°, o π radianes. Sus huecos están en π/2, luego en 3π/2, y así sucesivamente.

Pruébalo tú

Resuelve la respuesta y explica tu razonamiento. Después, comprueba la explicación.

Gira por debajo de la horizontal

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)

Apunta un octavo de giro por debajo de la dirección hacia la derecha. ¿Qué valor tiene la tangente ahí?

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−1-1

El seno es negativo y el coseno es positivo. Sus valores absolutos coinciden, así que la respuesta es −1.

Identifica un valor indefinido

tan⁡(π/2)\tan(\pi/2)

¿Qué le ocurre a la tangente en este ángulo? Explica por qué no puede ser cero.

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indefinida\text{indefinida}

Ningún número multiplicado por cero da uno, así que 1 ÷ 0 no tiene respuesta. No es ni cero ni infinito.

Elige una gráfica que pueda tener interrupciones

y=tan⁡(x)y=\tan(x)

Las dos pasan por cero. ¿Cuál puede representar una dirección vertical sin razón definida?

Gráfica A

Tramos separados con huecos en un cuarto de giro y después en cada medio giro.

Gráfica B

Una onda suave que se mantiene entre menos uno y uno sin huecos.

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Graˊfica A\text{Gráfica A}

La gráfica A tiene huecos donde el valor horizontal es cero. La gráfica B se mantiene entre menos uno y uno sin huecos, así que no puede ser la tangente.

Cuando el juego estira la gráfica

En y = 2tan(x), se duplica cada altura de la gráfica. Los huecos se quedan en el mismo sitio. Sumar un número desplaza la gráfica hacia arriba o hacia abajo. Un signo menos invierte las alturas, pero deja iguales los ángulos de los huecos.

En y = tan(2x), el puntero gira el doble de rápido. La gráfica se repite después de π/2 en lugar de π. Sus huecos también quedan más cerca entre sí. Fíjate en la regla completa antes de elegir.

Pon a prueba la idea de los huecos

Relaciona las reglas de la tangente con las gráficas. Busca un valor conocido, los huecos y la distancia antes de que la forma se repita. El juego usa radianes.

Práctica de 2 minutos · sigue aunque te equivoques · se abre en una pestaña nueva

Prueba preguntas sobre la gráfica de la tangente