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Comprende el seno y el coseno con una circunferencia

Unos 4 min

El seno sigue la altura de un punto al recorrer una circunferencia. El coseno sigue su posición horizontal. Representa esos valores durante una vuelta para formar dos ondas.

Una luz de juego gira en círculo. Quieres seguir su altura y distinguir las dos gráficas onduladas. La circunferencia de abajo mide una unidad desde el centro hasta el borde. La altura de su extremo es el seno y su posición horizontal es el coseno. Al girar el indicador cambian ambos a la vez.

Coordenadas en una circunferencia unidad Radio 1. A la derecha: 0 grados, coordenadas (1, 0). Arriba: 90 grados o pi medios, coordenadas (0, 1). A la izquierda: 180 grados o pi, coordenadas (-1, 0). Abajo: 270 grados o tres pi medios, coordenadas (0, -1). El coseno es la coordenada horizontal y el seno, la vertical. 90° = π/2 · (0, 1)270° = 3π/2 · (0, −1)180° = π(−1, 0)0° = 0(1, 0)
El azul sigue el movimiento a izquierda y derecha: coseno. El verde sigue la altura: seno. El radio es 1. Una vuelta completa son 360° o 2π radianes.

cos = 0; sin = 1

0π/2π3π/22π1−1

Seno: línea verde continua. Coseno: línea azul discontinua. Lee el ángulo en la parte inferior y el valor de la circunferencia en el lateral.

Sigue el mismo punto durante una vuelta

Lee el par como (coseno, seno): primero la posición horizontal y después la altura.

  1. Empieza en el extremo derecho

    0∘:(cos⁡,sin⁡)=(1,0)0^\circ:\quad(\cos,\sin)=(1,0)

    El extremo está una unidad a la derecha del centro y su altura es cero. Empieza aquí y gira en sentido antihorario.

  2. Gira un cuarto de vuelta hasta arriba

    90∘:(cos⁡,sin⁡)=(0,1)90^\circ:\quad(\cos,\sin)=(0,1)

    La posición horizontal llega a cero mientras la altura llega a uno. Los dos marcadores de las ondas muestran esos valores para el mismo ángulo.

  3. Gira otro cuarto de vuelta hasta la izquierda

    180∘:(cos⁡,sin⁡)=(−1,0)180^\circ:\quad(\cos,\sin)=(-1,0)

    Estar a la izquierda del centro significa una posición horizontal negativa. La altura vuelve a ser cero. Abajo, la altura pasa a ser menos uno.

Observa por qué las ondas empiezan de forma distinta

Las gráficas onduladas colocan el ángulo en el eje horizontal y el valor de la circunferencia en el vertical. En cero, la onda verde del seno empieza en cero; la onda azul discontinua del coseno empieza en uno.

Tras un cuarto de vuelta, el seno llega a uno y el coseno a cero. Usa el control para relacionar los dos valores de la circunferencia con los dos marcadores. Una vuelta completa devuelve el punto y ambas ondas a sus posiciones iniciales.

La circunferencia tiene radio uno: del centro al borde hay una unidad. Por eso ni la altura ni la posición horizontal pueden superar uno ni menos uno. Ambas ondas permanecen entre esos límites.

Lee la misma vuelta en grados o radianes

Los grados y los radianes son dos unidades angulares. Una vuelta completa son 360°, o 2π radianes. El símbolo π vale aproximadamente 3,14. Media vuelta son π radianes y un cuarto es π/2.

El juego de gráficas usa radianes. Lee las etiquetas de los ángulos antes de comparar una altura. El valor de la onda es una posición de la circunferencia, no otro ángulo.

Pruébalo tú

Resuelve la respuesta y explica tu razonamiento. Después, comprueba la explicación.

Lee el punto de la izquierda

cos⁡(π)=?sin⁡(π)=?\cos(\pi)=?\qquad\sin(\pi)=?

¿Qué valor da la altura y cuál da la posición horizontal?

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cos⁡(π)=−1sin⁡(π)=0\begin{gathered}\cos(\pi)=-1\\\sin(\pi)=0\end{gathered}

El coseno da la posición horizontal, −1. El seno da la altura, cero.

Lee el punto inferior

sin⁡(3π/2)=?\sin(3\pi/2)=?

¿Qué altura alcanza la luz en la parte inferior de la circunferencia?

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−1-1

El punto está una unidad por debajo del centro, así que su seno es −1.

Elige el coseno entre dos ondas

y=cos⁡(x)y=\cos(x)

Comprueba dónde empieza la luz con ángulo cero y compara después el cuarto de vuelta.

Gráfica A

En cero, el valor es cero. Tras un cuarto de vuelta es uno.

Gráfica B

En cero, el valor es uno. Tras un cuarto de vuelta es cero.

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Graˊfica B\text{Gráfica B}

El coseno empieza en uno y llega a cero tras un cuarto de vuelta. La gráfica B encaja. La gráfica A sigue la altura, así que es el seno.

Cambia la altura o la velocidad de una onda

En y = 2sin(x), duplica cada altura. La onda va de menos dos a dos y sigue repitiéndose cada 2π. Sumar uno desplaza toda la onda una unidad hacia arriba.

En y = sin(2x), el ángulo cambia el doble de rápido. Ahora una onda completa cabe en π radianes. Lee el inicio, la altura y la longitud de repetición en la regla completa.

Un signo menos delante pone la onda boca abajo: y = −sin(x). Sus máximos se convierten en mínimos. Comprueba un ángulo conocido para ver hacia dónde va.

¿Sabes distinguir las dos ondas?

Elige preguntas sobre gráficas del seno o del coseno. Comprueba el inicio, la altura y la longitud de repetición. El juego usa radianes y puede estirar o desplazar la onda básica.

Práctica de 2 minutos · sigue aunque te equivoques · se abre en una pestaña nueva

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